3.3热点专题——导数综合应用的热点问题1．(2017·兰州模拟)已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在R上为增函数；当a＞0时，由f′(x)＝0得x＝lna，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，lna)上为减函数，当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(lna，＋∞)上为增函数．(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x， g(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴g′(x)＝xex－mex＋m＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，即m≤在(2，＋∞)上恒成立，令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，h′(x)＝＝.令L(x)＝ex－x－2，L′(x)＝ex－1＞0在(2，＋∞)上恒成立，即L(x)＝ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，即L(x)＞L(2)＝e2－4＞0，∴h′(x)＞0，即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，∴h(x)＞h(2)＝，∴m≤.所以实数m的取值范围是.2．(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx(a＞0，b∈R)．(1)设a＝1，b＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若对任意的x＞0，f(x)≥f(1)，试比较lna与－2b的大小．【解析】(1)由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝. a＝1，b＝－1，∴f′(x)＝＝(x＞0)．令f′(x)＝0，得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴f(x)的单调递减区间是(0，1)，f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由题意可知，f(x)在x＝1处取得最小值，即x＝1是f(x)的极值点，∴f′(1)＝0，∴2a＋b＝1，即b＝1－2a.令g(x)＝2－4x＋lnx(x＞0)，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝.当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∴g(x)≤g＝1＋ln＝1－ln4＜0，∴g(a)＜0，即2－4a＋lna＝2b＋lna＜0，故lna＜－2b.3．(2016·日照模拟)已知函数f(x)＝在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)＝lnx，求证：g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立；(3)若0＜a＜b，求证：＞.【解析】(1)将x＝－1代入切线方程得y＝－2，所以f(－1)＝＝－2，化简得b－a＝－4.①f′(x)＝，f′(－1)＝＝＝＝－1.②联立①②，解得a＝2，b＝－2.所以f(x)＝.(2)证明由题意知要证lnx≥在[1，＋∞)上恒成立，即证明(x2＋1)lnx≥2x－2，x2lnx＋lnx－2x＋2≥0在[1，＋∞)上恒成立．设h(x)＝x2lnx＋lnx－2x＋2，则h′(x)＝2xlnx＋x＋－2，因为x≥1，所以2xlnx≥0，x＋≥2≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，即h′(x)≥0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(1)＝0，所以g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立．(3)证明因为0＜a＜b，所以＞1，由(2)知ln＞，整理得＞，所以当0＜a＜b时，＞.4．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝ax－1＋lnx，其中a为常数．(1)当a∈时，若f(x)在区间(0，e)上的最大值为－4，求a的值；(2)当a＝－时，若函数g(x)＝|f(x)|－－存在零点，求实数b的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝a＋，令f′(x)＝0得x＝－，因为a∈，所以0＜－＜e，由f′(x)＞0得0＜x＜－，由f′(x)＜0得－＜x＜e，从而f(x)的增区间为，减区间为，所以f(x)max＝f＝－1－1＋ln＝－4，解得a＝－e2.(2)函数g(x)＝|f(x)|－－存在零点，即方程|f(x)|＝＋有实数根，由已知，函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，当a＝－时，f(x)＝－－1＋lnx，所以f′(x)＝－＋＝－，当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0，所以，f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，＋∞)，所以f(x)max＝f(e)＝－1，所以|f(x)|≥1.令h(x)＝＋，则h′(x)＝.当0＜x＜e时，h′(x)＞0；当x＞e时，h′(x)＜0，从而h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以h(x)max＝h(e)＝＋，要使方程|f(x)|＝＋有实数根，只需h(x)max≥1即可，故b≥2－.即所求实数b的取值范围是.5．(2016·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f...
