课时作业(四)几个常见函数的导数A组基础巩固1．已知f(x)＝xn，若f′(－1)＝－4，则n的值为()A．4B．－4C．5D．－5解析：f′(x)＝nxn－1，f′(－1)＝n×(－1)n－1＝－4，∴n＝4.答案：A2．y＝x2在点处切线的倾斜角为()A.B.C.D.解析：设倾斜角为α，y′＝x，y′|x＝－1＝－＝tanα，∴α＝π，故选C.答案：C3．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于()A．2B．－2C．±2D．4解析：f′(x)＝－，f′(m)＝－＝－，m2＝4，∴m＝±2.答案：C4．若曲线y＝x12在点(a，a12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64B．32C．16D．8解析：∵y′＝－x32，∴切线的斜率k＝－a32，∴切线的方程为y－a12＝－a32(x－a)．令x＝0，得y＝a12，令y＝0，得x＝3a，即三角形的面积S＝·3a·a12＝18.解得a＝64.答案：A5．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定解析：f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，故有两个切点(1,1)和(－1，－1)，所以有两条切线．答案：B6．下列结论中不正确的是()A．若f(x)＝x4，则f′(2)＝32B．若f(x)＝，则f′(2)＝－C．若f(x)＝，则f′(1)＝－D．若f(x)＝x－5，则f′(－1)＝－5解析：对于A，∵f′(x)＝4x3，∴f′(2)＝4×23＝32，正确；对于B，∵f′(x)＝′＝(x12)′＝－x32，∴f′(2)＝－×232＝－×＝－＝－，不正确；对于C，∵f′(x)＝＝521x′＝(x152)′＝－x72，∴f′(1)＝－，正确；对于D，∵f′(x)＝－5x－6，∴f′(－1)＝－5，正确．答案：B7．曲线y＝过点(4,2)的切线方程为()A．y＝x＋1B．y＝x＋1C．y＝－x＋D．y＝x解析：∵y′＝()′＝，∴切线的斜率为.由点斜式得过点(4,2)的切线方程为y－2＝(x－4)，即y＝x＋1.答案：B8．曲线y＝在点Q(16,8)处的切线斜率是________．解析：∵y＝x34，∴y′＝x14，∴切线斜率为k＝×1614＝.答案：9．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．解析：∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．答案：(0，－a2)10．求与曲线y＝在点P(8,4)处的切线垂直的直线方程．解析：∵y＝，∴y′＝()′＝(x23)′＝x13.∵×813＝，∴经过点P(8,4)的切线的斜率为，故所求直线方程为y－4＝－3(x－8)，即3x＋y－28＝0.B组能力提升11．曲线y＝x5的斜率等于5的切线方程为()A．5x－y－4＝0B．5x－y＋4＝0C．5x－y－4＝0或5x－y＋4＝0D．5x－y＝0解析：设切点为(x0，y0)，∵y′＝5x4，∴5x＝5.∴x0＝1或x0＝－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故所求切线为y－1＝5(x－1)或y＋1＝5(x＋1)，即5x－y－4＝0或5x－y＋4＝0.答案：C12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A.B.C.D．1解析：对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.答案：B13．曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．解析：由得交点A的坐标为(1,1)．由y＝x2，得y′＝2x，∴y＝x2在点A(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由y＝，得y′＝－，∴y＝在点A(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.2S△＝××1＝××1＝.答案：14．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解析：设切点P的坐标为(x0，x)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．将点B(3,5)代入上式，得5－x＝2x0(3－x0)，即x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.15．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．∵y′＝′＝－.∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝··|2x0|＝2a2.即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.3
