函数的最大(小)值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是()A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16【解析】选A.y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以ymax=12,ymin=-8.2.(2015·聊城高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为()A.0≤a<1B.0
0恒成立,所以在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值.14.函数f(x)=2+,x∈(0,5]的最小值为()A.2B.3C.D.2+【解析】选B.由f′(x)=-==0,得x=1,且x∈(0,1)时,f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′(x)>0,所以x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.5.(2015·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于()A.0B.1C.2D.【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选C.y′=′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+.f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=+x(x∈[1,3])的值域为________.【解析】f′(x)=-+1=,所以在[1,3]上f′(x)>0恒成立,即f(x)在[1,3]上单调递增,所以f(x)的最大值是f(3)=,最小值是f(1)=.故函数f(x)的值域为.答案:7.(2015·盐城高二检测)若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=________.2【解析】因为f′(x)=3x2-3,所以当x>1或x<-1时,f′(x)>0;当-116,所以f>f(2)>0.所以f(x)在上的最大值为f=1-ln2,最小值为0.3【补偿训练】已知f(x)=xlnx,求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.【解析】f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=.当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.由于t>0,所以t+2>.①当00,所以-3x2+2ax-3≤0恒成立,即3≥2a恒成立,6≥2a,所以a≤3.(2)依题意f′(3)=0即=0,解得a=5,此时f′(x)==-,易知x∈[1,3]时f′(x)≥0,原函数递增,x∈[3,5]时,f′(x)≤0,原函数递减;所以最大值为f(3)=-3ln3.4(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为,则a等于()A.-B.C.-D.-或-【解析】选C.y′=-2x-2,令y′=0,得x=-1.当a≤-1时,最大值为f(-1...
