思想3.4等价转换思想一．选择题1.设，若，，则的大小关系为()A．B．C.D．【答案】A2.【辽宁省朝阳市2018届第一次模拟】在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为为三角形的重心，所以，又，，所以，，所以，因为三点共线，所以，故，故选A.3.函数，若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．【答案】B【解析】只有一个整数解等价于，只有一个大于的整数解，设4.【东北三省三校2018届第一次模拟】已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，可设交点的坐标分别为，联立直线与抛物线方程消去得，则，，，由，即，解得.故选C.5.在中，内角的对边分别是，若，且，则周长的取值范围是()A．B．C.D．【答案】B【解析】且为三角形的内角，所以，又，，当且仅当时，取等号，所以，所以；又，所以，所以周长的取值范围是.6.【东北三省三校2018届第一次模拟】设双曲线的两条渐近线与直线分别交于两点，为该双曲线的右焦点，若，则该双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C7.在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值是（）A．B．C.D．【答案】B【解析】甴已知易得．以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则．设由已知，得，又，所以，所以，它表示圆上的点与点的距离的平方的，所以，故选B．8.【辽宁省抚顺市2018届3月模拟】已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是A.，B.，C.，D.，【答案】B9.已知在正项等比数列中，存在两项满足，且，则的最小值是（）A．B．2C.D．【答案】A【解析】设数列的公比为，则由得，解之得或（舍去），因为存在两项满足，所以，解之得，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值是,故选A.10.【安徽省淮南市2018届2月模拟】已知函数有两个零点，则()A.B.C.D.【答案】A二、填空题11.【山东省烟台市2018届期末】方程的解称为函数的不动点，若有唯一不动点，且数列满足，，则_______________________.【答案】【解析】由题得，化简得由唯一不动点，所以，，所以，所以，是一个等差数列，，故填1009.12.已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于，两点，使，则双曲线离心率的取值范围是．【答案】【解析】设，直线的方程为，联立双曲线方程，消去，得＋，所以①，②．因为＝，即，代入①②整理，得－，．由，得，即，，解得；由，得，即，，所以．综上所述，．13.【浙江省绍兴市2018届3月】已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为_______．【答案】14.已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是．(为自然对数的底数)【答案】三、解答题15.已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设，直线与椭圆交于两点，且，当（为坐标原点）的面积最大时，求直线的方程.【解析】（1）依题意得：，，又，解得，，所以椭圆的方程为.（2）显然，直线的斜率存在.①当时，可设直线的方程为，，，则.所以.当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为.②当时，可设直线的方程为，，，联立，消去整理得.由，得（*），则有，，于是可得的中点为.因为，所以，化简得，结合（*）可得.又到直线的距离为，，所以.即，所以，当时，取最大值，此时，，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.16.【山东省烟台市2018届期末】在中，角的对边分别是，.(1)求的值；(2)若，求的最大值.17.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；（Ⅲ）若正实数满足，证明.
