【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第7章第5节空间向量及其运算课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1．已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面)．[解析]AB＝(3,4,5)，AC＝(1,2,2)，AD＝(9,14,16)，设AD＝xAB＋yAC，即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，得x＝2，y＝3.[答案]共面2．(2014·济南调研)在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z得p＝xa＋yb＋zc.其中不正确的命题是________(填序号)．[解析]a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确．根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误．三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确．只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确．[答案]①②③④3．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则MN＝________.(用a，b，c表示)[解析]MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝b＋c－a.[答案]b＋c－a4．(2012·上海高考)若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是________．(填序号)①(a＋b)·c＝a·c＋b·c；②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③m(a＋b)＝ma＋nb；④(a·b)·c＝a·(b·c)．[解析](a·b)·c＝|a|·|b|cosθ·c，a·(b·c)＝|b|·|c|cosα·a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错．[答案](4)5．已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有OP＝2OA＋OB＋λOC，则λ＝________.[解析]根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1，所以2＋＋λ＝1，λ＝－.[答案]－6．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ等于________．[解析]由已知得＝＝，解得λ＝－2或λ＝.[答案]－2或7．(2014·徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值时，OQ的坐标是________．[解析] 点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－.当λ＝时，QA·QB取得最小值－.此时OQ＝.[答案]8．如图756所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为________．图756[解析]设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，即〈OA·BC〉＝，所以cos〈OA，BC〉＝0.[答案]0二、解答题9．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝，且a分别与AB，AC垂直，求a的坐标．[解](1)由题意可得：AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，∴cos〈AB，AC〉＝＝＝，∴sin〈AB，AC〉＝，∴以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝2×|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×＝7.(2)设a＝(x，y，z)，由题意得解得或∴向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．10．(2014·张家港调研)如图757，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，图757(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D.[证明](1)CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1，可以证明：CG＝(CB＋CD＋CC1)＝CA1，∴CG∥CA1，即A1，G，C三点共线．(2)设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0， CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，因此CA1⊥BC1，即CA1⊥BC1，同理CA1⊥BD，又 BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面BC1D.[B级能力提升练]一、填空题1．如图758所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为________．图758[解析] PC＝PA＋AD＋DC，∴|PC|2＝(PA＋AD＋DC)2＝|PA|2＋|AD...
