2-3-1等差数列前n项和的性质VIP免费

第二章等差数列的前n项和（2）1．对于任意数列{an}，Sn＝a1＋a2＋…＋an，叫做数列{an}的前n项和．于是对任意数列{an}总有：Sn＝Sn－1＋an(n∈N*且n≥2)，因此对于任意数列{an}，如果Sn是其前n项的和，则通项an与前n项和Sn的关系是：an＝S1n＝1______________n≥2且n∈N*.Sn－Sn－12．等差数列{an}的前n项和公式是：Sn＝na1＋an2(1)或Sn＝na1＋nn－12d(2)(2)式可以改写成：Sn＝d2n2＋(a1－d2)n.当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，所以可借助二次函数的有关性质来处理等差数列前n项和Sn的有关问题．若d＝0，则Sn＝na1.(2)式的一个等价表达式是Sn＝nan－nn－12d.3．等差数列前n项和的性质：(1)Sn是等差数列{an}前n项和⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．(2)等差数列(公差d≠0)依次k项之和仍然是等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…成公差为k2d的等差数列．(3)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n，(m≠n)，则有Sm＋n＝_____________．(4)若Sm＝Sn(m≠n)则Sm＋n＝0.(5)若{an}和{bn}均为等差数列，且前n项的和分别为Sn与Tn，则有2121nnnnaSbT.－(m＋n)(6)项数为2n的等差数列{an}，有：S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝_____，S奇S偶＝anan＋1.(7)项数为2n－1的等差数列{an}，有：S2n－1＝_________an，(an为中间项)S奇－S偶＝____，S奇S偶＝nn－1.nd(2n－1)an(8)在等差数列{an}中，a1>0，d<0.则Sn存在最_____值；a1<0，d>0，则Sn存在最____值．(9)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则{Snn}也是等差数列．大小1．数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2且n∈N*，当已知数列前n项和Sn或关于Sn的关系式求通项时主要应用此关系式．应用此关系式时，莫忘对a1＝S1是否满足an的表达式进行检验．若满足则合并在一块表达，若不满足，则分段表达．2．等差数列前n项和公式中涉及五个量a1，d，n，an，Sn，已知其中任意三个就可以列方程组求另外两个(简称“知三求二”)，它是方程思想在数列中的体现．注意：3．等差数列求和公式的推导，用的是倒序相加法，要注意体会这种求和方法的适用对象和操作程序，并能用来解决与之类似的求和问题．4．Sn是n的二次函数时，{an}不一定是等差数列．如果Sn＝an2＋bn＋c，则在c＝0时{an}是等差数列，在c≠0时{an}不是等差数列；反过来{an}是等差数列，Sn的表达式可以写成Sn＝an2＋bn的形式，但当{an}是常数列时，Sn＝na1是n的一次函数．教材45页例4，要注意从函数的角度来看待等差数列，注意知识之间的衔接、联系，一方面可从二次函数最值来讨论，另一方面可从一次函数零点和正负值区间来考察，注意体会这种多角度、全方位看问题的方法．6．课前自主预习中性质的推导：性质(1)如果{an}是等差数列，公差为d，则Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n，令A＝d2，B＝a1－d2，则Sn＝An2＋Bn.反之，若{an}前n项和Sn＝An2＋Bn，则n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(An2＋Bn)－[A(n－1)2＋B(n－1)]＝2A＋(B－A)，a1＝S1＝A＋B也满足，∴an＝2An＋(B－A)，显然{an}为等差数列．性质(2)设等差数列的首项为a1，公差为d，则ak＋1＝a1＋kd，a2k＋1＝a1＋2kd.Sk＝ka1＋kk－12d.又S2k－Sk为数列第k＋1项到第2k项这k项的和，∴S2k－Sk＝k(a1＋kd)＋kk－12d＝ka1＋kk－12d＋k2d.同理：S3k－S2k＝k(a1＋2kd)＋kk－12d＝ka1＋kk－1d2＋2k2d，∴Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，构成等差数列，且公差为k2d.性质(3)Sn＝na1＋nn－12d＝m.Sm＝ma1＋mm－12d＝n.两式相减得：∴(n－m)a1＋d2[(n2－n)－(m2－m)]＝m－n，∴a1＝－d2(n＋m－1)－1，∴Sn＋m＝(n＋m)a1＋n＋mn＋m－12d＝(n＋m)[－d2(n＋m－1)－1＋n＋m－1d2]＝－(n＋m)．性质(4) Sm＝Sn，∴ma1＋mm－12d＝na1＋nn－12d∴a1＋d2(m＋n－1)＝0，∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋m＋nm＋n－12d＝(m＋n)[a1＋d2(m＋n－1)]＝0.性质(5) {an}，{bn}均为等差数列，∴A2m－1B2m－1＝2m－1a1＋a2m－122m－1b1＋b2m－12＝a1＋a2m－1b1＋b2m－1＝2am2bm＝ambm.性质(6)①在等差数列中，a1＋a2n＝a2＋a2n－1＝…＝an＋an＋1，∴S2n＝2na1＋a...