第2课时一般形式的柯西不等式A．基础巩固1．n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A．1B．nC．n2D．【答案】C【解析】设a1，a2，…，an为正数，则由柯西不等式得(a1＋a2＋…＋an)≥2＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.2.(2018年西安校级月考)已知a，b，c∈R，若a4＋b4＋c4＝1，则a2＋b2＋c2的最大值为()A.1B.C.2D.3【答案】B【解析】因为a4＋b4＋c4＝1，由柯西不等式可知(a2＋b2＋c2)2≤(12＋12＋12)[(a2)2＋(b2)2＋(c2)2]，所以(a2＋b2＋c2)2≤3，即a2＋b2＋c2≤，当且仅当a2＝b2＝c2＝时取等号，最大值为.3．已知x，y，z，a∈R且x2＋4y2＋z2＝6，则使不等式x＋2y＋3z≤a恒成立的a的最小值为()A．6B．C．8D．【答案】B【解析】∵(x2＋4y2＋z2)(12＋12＋32)≥(x＋2y＋3z)2，∴x＋2y＋3z≤，又x＋2y＋3z≤a恒成立，∴a≥，即a的最小值为.4．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值是______．【答案】－1【解析】∵4a2－2ab＋b2－c＝0，∴＝2＋b2.由柯西不等式，得[22＋(2)2]≥2＝|2a＋b|2，故当|2a＋b|取得最大值时，有2×＝2×b，∴a＝，c＝b2.∴＋＋＝＋＋＝＋＝42－1，当b＝－2时，取得最小值为－1.5．已知a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值是________．【答案】9【解析】∵a，b，c均为正数且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝·(a＋b＋c)≥2＝9，∴min＝9.6．已知a＋a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是________．【答案】1【解析】∵≤·＝1，∴－1≤a1x1＋a2x2＋…＋anxn≤1.故最大值为1.7．(2017年武汉校级月考)设f(x)＝|x－3|＋|x－4|.(1)解不等式f(x)≤2；(2)已知实数x，y，z满足2x2＋3y2＋6z2＝a(a＞0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．【解析】(1)当x＜3时，不等式化为－x＋3－x＋4≤2，∴x≥，∴≤x＜3；当3≤x≤4时，不等式化为x－3－x＋4≤2，成立；当x＞4时，不等式化为x－3＋x－4≤2，∴x≤，∴4＜x≤.1综上所述，不等式的解集为.(2)由柯西不等式得[(x)2＋(y)2＋(z)2]·≥(x＋y＋z)2，因为2x2＋3y2＋6z2＝a(a＞0)，所以a≥(x＋y＋z)2.因为x＋y＋z的最大值是1，所以a＝1.当2x＝3y＝6z时，x＋y＋z取最大值，所以a＝1.B．能力提升8．已知P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别是x，y，z，则x，y，z的关系式是________，x2＋y2＋z2的最小值是__________．【答案】x＋y＋z＝33【解析】∵S＝·2(x＋y＋z)＝×(2)2sin60°，∴x＋y＋z＝3.又∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝9，∴x2＋y2＋z2≥3.∴(x2＋y2＋z2)min＝3.2
