高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理优化练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

2.1.1合情推理[课时作业][A组基础巩固]1．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.答案：B2．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27解析：因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.答案：B3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案：A4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D.答案：D5．n个连续自然数按规律排列如下表：01234567891011…根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察题图的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由2,3,4可知从2010到2012为↑→，故应选C.答案：C6．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量②，1请你写出类似于①的式子：___________________________________________，②式可以用语言叙述为：_______________________________________________.解析：半径为R的球的体积V(R)＝πR3，表面积S(R)＝4πR2，则(πR3)′＝4πR2.答案：(πR3)′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数7．观察下列等式：12＝1；12－22＝－3；12－22＋32＝6；12－22＋32－42＝－10；……照此规律，第n个等式可为________．解析：观察等号左边的规律发现，左边的项数依次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，…，n，指数都是2，符号成正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的绝对值的和，故等式的右边可以表示为(－1)n＋1·，∴第n个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)8．设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.答案：9．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论，2cos＝，2cos＝，2cos＝，……证明：2cos＝2·＝，2cos＝2＝2＝，2cos＝2＝2＝…观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n个等式的左端应为2cos，由此可归纳出一般性的结论为：2cos＝10．点P在圆C：x2＋y2＝1上，经过点P的圆的切线方程为x＋y＝1，又点Q(2,1)在圆C2外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R在圆C的内部．直线x＋y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2＋y2＝r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？解析：点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．[B组能力提升]1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，...