第一章1.21.2.1几个常用函数的导数A级基础巩固一、选择题1．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(D)A．B．C．D．[解析] s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝，故选D．2．下列结论中不正确的是(B)A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32B．若y＝，则y′|x＝2＝－C．若y＝，则y′|x＝1＝－D．若y＝x－5，则y′|x＝－1＝－5[解析] ()′＝(x－)′＝－x－∴y′|x＝2＝－．故B错误．3．若f(x)＝，则f′(－1)＝(D)A．0B．－C．3D．[解析] f(x)＝x，∴f′(x)＝x－∴f′(－1)＝(－1)－＝，∴选D．4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(B)A．1条B．2条C．3条D．不确定[解析]f′(x)＝3x2，∴3x2＝1，解得x＝±，故存在两条切线，选B．5．(2017·武汉期末)若f(x)＝x5，f′(x0)＝20，则x0的值为(B)A．B．±C．－2D．±2[解析]函数的导数f′(x)＝5x4， f′(x0)＝20，∴5x＝20，得x＝4，则x0＝±，故选B．6．(2018·长春高二检测)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为(C)A．1B．－C．D．[解析] y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，1 0≤α<π，∴α＝．二、填空题7．已知函数f(x)＝，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝1或－．[解析]f′(x)＝－，∴f′(a)＝－，∴f′(a)－f(a)＝－－，∴＋＝2，解a＝1或－．8．若曲线y＝x3的某一切线与直线y＝12x＋6平行，则切点坐标是(2,8)或(－2，－8)．[解析]设切点坐标为(x0，x)，因为y′＝3x2，所以切线的斜率k＝3x，又切线与直线y＝12x＋6平行，所以3x＝12，解得x0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．三、解答题9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率．[解析]设被扰动水面的面积为S，时间为t，依题意有S＝πR2＝36πt2，所以S′＝72πt，所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t＝2＝144π(m2/s)．10．(2017·北京理，19(1))已知函数f(x)＝excosx－x，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程．[解析]因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0．又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1．B级素养提升一、选择题1．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为(D)A．B．C．D．[解析]由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3x，曲线y＝3－x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直，∴3x·(－x0)＝－1，∴x0＝，故选D．2．(2018·全国卷Ⅰ理，5)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x[解析] f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a．又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x．故选D．2二、填空题3．(2018·全国卷Ⅲ理，14)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3．[解析] y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，得a＝－3．4．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是21．[解析] y′＝2x，∴在点(ak，a)的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21．三、解答题5．已知曲线C：y＝经过点P(2，－1)，求(1)曲线在点P处的切线的斜率．(2)曲线在点P处的切线的方程．(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．[解析](1)将P(2，－1)代入y＝中得t＝1，∴y＝．∴y′＝，∴lim＝，∴曲线在点P处切线的斜率为k＝y′|x＝2＝＝1．(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0．(3) 点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k＝＝，由于y0＝，∴x0＝，∴切点M(，2)，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4(x－)，即...
