5.1平面向量的线性运算核心考点·精准研析考点一平面向量的基本概念1.下面说法正确的是()A.平面内的单位向量是唯一的B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C.所有的单位向量都是共线的D.所有单位向量的模相等【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.2.给出下列命题:①零向量是唯一没有方向的向量;②零向量的长度等于0;③若a,b都为非零向量,则使=0成立的条件是a与b反向共线.其中错误的命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①错误,零向量是有方向的,其方向是任意的;②正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;③正确,因为都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时才成立.1.解答向量概念型题目的要点(1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大小和方向.(2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.2.(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.(3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.考点二平面向量的线性运算【典例】1.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.-B.-C.+D.+2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.【解题导思】序号联想解题1由“则=”及选项,想到平面向量线性运算.2由“=λ1+λ2”,想到平面向量线性运算【解析】1.选A.如图所示=-=-=-·(+)=-.【一题多解】选A.在△ABC中,找到向量,,对于选项A,作出向量,,再作-,与向量比较,发现相等,所以选A.2.=+=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.答案:1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.2.三种运算法则的关注点(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.1.在△ABC中,已知M是BC中点,设=a,=b,则=()A.a-bB.a+bC.a-bD.a+b【解析】选A.=-=-=a-b.2.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;y=________.【解析】由已知,=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.答案:-考点三共线向量定理及其应用命题精解读考什么:(1)判断向量共线,三点共线问题,含参数综合问题;(2)考查数学运算核心素养,以及数形结合的思想.怎么考:与解析几何,三角函数图象与性质,三角恒等变换结合考查求参数,最值等.新趋势:以考查共线向量定理的应用为主.学霸好方法1.证明向量共线的方法:应用向量共线定理.对于向量a,b(b≠0),若存在实数λ,使得a=λb,则a与b共线.2.证明A,B,C三点共线的方法:若存在实数λ,使得=λ,则A,B,C三点共线.3.解决含参数的共线问题的方法:经常用到平面几何的性质,构造含有参数的方程或方程组,解方程或方程组得到参数值.向量共线问题【典例】(2019·西安模拟)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=________.【解析】因为a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),则(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以解得k=,λ=-.答案:-三点共线问题【典例】(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为________.【解析】因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以解得k=-.答案:-解决三点共线问题应注意什么问题?提示:应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔,共线.含参数综合问题【典例】(2020·唐山模拟)在直角梯...
