3.3.2简单的线性规划问题A级：基础巩固练一、选择题1．已知P(x，y)为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z＝2x－y的最大值是()A．6B．0C．2D．2答案A解析画出不等式组所表示的平面区域如图所示，由图可知A(a，－a)，B(a，a)，由S△AOB＝×2a×a＝4，得a＝2.所以A(2，－2)，由z＝2x－y化简得y＝2x－z，即当y＝2x－z过A点时z取最大值，且zmax＝2×2－(－2)＝6.故选A.2．若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为()A．0B．1C.D．2答案D解析作出不等式组1表示的平面区域，如图所示．当直线y＝－x＋经过点B时，目标函数z达到最大值．∴z最大值＝0＋2×1＝2.故选D.3．点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是()A．[0,5]B．[0,10]C．[5,10]D．[5,15]答案B解析因x，y满足－14≤x－y≤7，则点P(x，y)在所确定的区域内，且原点也在这个区域内，如图所示．因为点P在直线4x＋3y＝0上，由解得A(－6,8)；由解得B(3，－4)．∴点P到坐标原点距离的最小值为0.又|OA|＝10，|BO|＝5.因此，最大值为10，故所求取值范围是[0,10]．4．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：体积(升/件)重量(公斤/件)利润(元/件)甲20108乙102010在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，2一次运输获得的最大利润为()A．65元B．62元C．60元D．56元答案B解析设运送甲x件，乙y件，利润为z，则由题意得即且z＝8x＋10y，作出不等式组对应的平面区域(阴影部分内的整数点)如图：由z＝8x＋10y得y＝－x＋，平移直线y＝－x＋，由图象知当直线y＝－x＋经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由得即B(4,3)，此时z＝8×4＋10×3＝32＋30＝62.故选B.3二、填空题5．已知O为坐标原点，点M(3,2)，若点N(x，y)满足不等式组则OM·ON的最大值为________．答案12解析画出所给不等式组表示的平面区域如图所示．令z＝OM·ON＝3x＋2y，由目标函数的几何意义可知当z＝3x＋2y过(4,0)点时，z取最大值，即OM·ON的最大值＝3×4＋0＝12.6．若已知实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值是________．答案21解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．解法一：z＝|x＋2y－4|＝×，其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B的坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.解法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有4x＋2y－4＞0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B时，目标函数z取得最大值，由得点B的坐标为(7,9)，此时zmax＝21.7．不等式组所确定的平面区域记为D.若点(x，y)是区域D上的点，则2x＋y的最大值是________；若圆O：x2＋y2＝r2上的所有点都在区域D内，则圆O面积的最大值是________．答案14解析作出区域D如图所示．令z＝2x＋y可知，直线z＝2x＋y经过点(4,6)时z最大，此时z＝14；当圆O：x2＋y2＝r2和直线2x－y－2＝0相切时半径最大，此时半径r＝，面积S＝.三、解答题8．已知实数x，y满足试求z＝的最大值和最小值．解由于z＝＝，所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此，的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，作出表示的可行域如下图所示：5结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.所以z的最大值为3，最小值为.9．一农民有农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每亩产量为400千克；若种花生，则每亩产量为100千克．但水稻成本较高，每亩240元，而花生只需80元，且花生每千克5元，稻米每千克3元．现该农民手头有400元．(1)设该农民种x亩水稻，y亩花生，利润z元，请写出约束条件及目标函数；(2)问两种作物各种多少，才能获得最大收益？解(1)约束条件为：即目标函数为：z＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y＝960x＋420y.(2)作出可行域如图所示，6把z＝960x＋420y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一组平行直线；当直线y＝－x＋经过可行域上的...
