1.3.3函数的最大(小)值与导数课时过关·能力提升基础巩固1.函数f(x)=2x+sinx在区间[0,π]上的()A.最小值为0,最大值为π+1B.最小值为0,最大值为2πC.最小值为π+1,最大值为2πD.最小值为0,最大值为2解析:f'(x)=2+cosx>0,所以f(x)在区间[0,π]上单调递增,因此f(x)的最小值为f(0)=0,最大值为f(π)=2π.答案:B2.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为()A.-5B.7C.10D.-19解析:f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x2-2x-3)=-3(x+1)(x-3).令f'(x)=0,得x=-1或x=3.f(-1)=1+3-9+a=a-5,f(-2)=8+12-18+a=a+2.由题意知f(-2)=f(x)max=2+a=2,∴a=0,∴f(x)min=f(-1)=a-5=-5.答案:A3.函数f(x)=xe-x在区间[0,4]上的最大值为()A.0B.1eC.4e21D.2e2解析:f'(x¿=1-xex,令f'(x)=0,得x=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x0(0,1)1(1,4)4f'(x)+0-f(x)0↗1e↘4e-4所以f(x)的最大值为f(1¿=1e.答案:B4.函数f(x)=2√x+1x,x∈(0,5)的最小值为()A.2B.3C.174D.2√2+12解析:由f'(x¿=1√x−1x2=x32-1x2=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,5)时,f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=3.答案:B5.函数f(x¿=4xx2+1()A.有最大值2,无最小值B.无最大值,有最小值-2C.最大值为2,最小值为-2D.无最值2解析:f'(x¿=4(1-x2)(x2+1)2,令f'(x)=0,得x=±1,容易验证当x=-1时,函数f(x)取极小值f(-1)=-2,当x=1时函数f(x)取极大值f(1)=2,此即为函数f(x)的最小值和最大值.答案:C6.若函数f(x)=x3+2ax2+1在区间[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为.解析:f'(x)=3x2+4ax,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以当x∈[0,1]时,f'(x)≤0恒成立,即3x+4a≤0恒成立.所以a≤−34x恒成立.故a≤−34.答案:(-∞,-34]7.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是.解析:f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)=0,则x=-1或x=1(舍去).f(-1)=3,f(0)=1,f(-3)=-17,所以f(x)max=f(-1)=3,f(x)min=f(-3)=-17.答案:3,-178.求函数y=f(x)=x3−32x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:先求导数,得y'=3x2-3x.令y'=0,即3x2-3x=0,解得x1=1,x2=0.因为f(-2)=-9,f(0)=5,f(1¿=92,f(2)=7,故ymax=7,ymin=-9.9.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R),3(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围.解:(1)f'(x)=3x2-2ax+b. 函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.∴{-1+3=2a3,-1×3=b3,∴{a=3,b=-9.(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f'(x)=3x2-6x-9.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,3)3(3,6)6f'(x)+0-0+f(x)c-2↗极大值c+5↘极小值c-27↗c+54而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,∴当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54,要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可,当c≥0时,c+54<2c,∴c>54;当c<0时,c+54<-2c,∴c<-18,∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞).故c的取值范围为(-∞,-18)∪(54,+∞).能力提升1.函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是()4A.1+1eB.1C.e+1D.e-1解析:因为f(x)=ex-x,所以f'(x)=ex-1.令f'(x)=0,得x=0.且当x>0时,f'(x)=ex-1>0,当x<0时,f'(x)=ex-1<0,即函数f(x)在x=0处取得极小值,f(0)=1.又f(-1¿=1e+1,f(1)=e-1,综合比较得函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是e-1.故选D.答案:D2.函数f(x¿=12ex(sinx+cosx)在区间[0,π2]上的值域为()A.[12,12eπ2]B.(12,12eπ2)C.[1,eπ2¿D.(1,eπ2¿解析:f'(x¿=12ex(sinx+cosx¿+12ex(cosx-sinx)=excosx,当0≤x≤π2时,f'(x)≥0,且只有在x¿π2时,f'(x)=0,所以f(x)是[0,π2]上的增函数.即f(x)的最大值为f(π2)=12eπ2,f(x)的最小值为f(0¿=12.故f(x)在[0,π2]上的值域为[12,12eπ2].故选A.答案:A53.对于R上的可导函数f(x),若满足(x-1)f'(x)>0,则必有()A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)=2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)解析:当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)内是增函数;当x<1时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,1)内是减函数,故当x=1时,f(x)取得最小值,即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),得f(0)+f(2)>2f(1).答案:D4.若f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有...
