3.2.5距离（选学）[A基础达标]1．设P是60°的二面角αlβ内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B为垂足，PA＝4，PB＝2，则AB的长为()A．2B．2C．2D．4解析：选C．由已知得∠APB＝120°，在△APB中，由余弦定理得AB2＝42＋22－2×4×2cos120°＝28.所以AB＝2.2．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为()A．B．C．D．解析：选B．由题意知A1到平面ABC1D1的距离为A1D＝.又因为O是A1C1的中点，所以O到平面ABC1D1的距离为A1到平面ABC1D1距离的.所以距离为，故选B．3．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A．B．C．D．解析：选B．建立空间直角坐标系如图所示，则BA＝(0，2，0)，BE＝(0，1，2)，设∠ABE＝θ，则cosθ＝＝＝，sinθ＝＝.故A到直线BE的距离d＝|AB|sinθ＝2×＝.4．已知夹在两平行平面α，β内的两条斜线段AB＝8cm，CD＝12cm，AB和CD在α内的射影长的比为3∶5，则α与β的距离为()A．cmB．cmC．cmD．cm解析：选C．1如图所示，设AB和CD在α内的射影长分别为3x和5x，则有82－(3x)2＝122－(5x)2，解得x＝，则α、β间的距离为cm.故选C．5．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′的侧面ABB′A′内有一动点P，点P到直线A′B′的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为()解析：选C．在平面ABB′A′内作PM⊥A′B′，连接PB，则PB⊥BC，因为PM＝PB，故点P的轨迹是以A′B′为准线以B为焦点的抛物线(一部分)，故应选C．6．在三棱锥PABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则点P到平面ABC的距离等于________．解析：利用VAPBC＝VPABC可求得点P到平面ABC的距离为.答案：7．已知直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，AB∥α，AC，BC与α所成角分别为45°和30°，若AB＝6，则AB到α的距离为________．解析：设AB到α的距离为h，CB＝＝2h，AC＝＝h，由勾股定理AB2＝AC2＋CB2可得(h)2＋(2h)2＝62，解得h＝.答案：8．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N(图略)．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.由于BD＝BM＋MN＋ND，所以|BD|2＝(BM＋MN＋ND)2＝|BM|2＋|MN|2＋|ND|2＋2(BM·MN＋MN·ND＋BM·ND)＝＋12＋＋2×(0＋0＋0)＝，所以|BD|＝.答案：9．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是C1C、D1A1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离．解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图．2则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，所以EF＝(1，－2，1)，EG＝(2，－1，－1)，GA＝(0，－1，0)．设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量．则由得从而有x＝y＝z，所以可取n＝(1，1，1)．GA在n上射影的长度为＝＝.即点A到平面EFG的距离为.10．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．(1)求点M到直线AC1的距离；(2)求点N到平面MA1C1的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，AM＝(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d＝＝＝.(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1C1＝0且n·A1M＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0＝.因为N(1，1，0)，所以MN＝(－1，1，－1)，故点N到平面MA1C1的距离d＝|MN·n0|＝.[B能力提升]11．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为()A．3B．C．D．解析：选D．如图所示，建立空间直角坐标系，则B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)，所以GE＝(2，4，－2)，GF＝(4，2，－2)．3设n＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则令x＝1，则y＝1，z＝3，所以平面EFG的一个法向量为n＝(1，1，3)．而EB＝(－2，0，0)，所以d＝＝＝.12．已知二面角αlβ...
