第2讲数列求和及综合应用求数列的通项训练提示:求数列通项的常用方法有累加法、累积法、构造等比数列法或已知Sn与an关系,求an或利用方程思想联立方程组,求出基本量,得出an.解题时应注意各自的适用范围及注意验证n=1的情况.1.(2015宁夏石嘴山高三联考)已知各项都不相等的等差数列{an}的前7项和为70,且a3为a1和a7的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=2,求数列{}的前n项和Tn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则解得所以an=2n+2.(2)因为bn+1-bn=an,所以bn-bn-1=an-1=2n(n≥2,n∈N*)bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+1).所以==-,所以Tn=1-+-+…+-=1-=.2.(2015东北三校第二次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)当n=1时a2=S1+2=4=2a1,当n≥2时,a⇒n+1=2an,数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),且a1=2,所以an=2n(n∈N*).(2)bn=n·an=n·2nTn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1两式相减,得-Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n·2n+1-Tn=-n·2n+1,Tn=2+(n-1)·2n+1(n∈N*).求数列的前n项和训练提示:在数列求和的几种常见方法中,一定要注意其各自的适用范围,其中在裂项相消法中注意裂项后的恒等变形,在错位相减法中注意相减后,哪些项构成等比数列.3.(2015甘肃二诊)已知数列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{an-n}是等比数列;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)],因为=2(n≥2,n∈N*).所以{an-n}是以2为公比的等比数列.(2)由(1)得an-n=(a1-1)·2n-1.即an=2n-1+n.所以bn==1+.设cn=,且前n项和为Tn,所以Tn=+++…+①Tn=+++…+②①-②得Tn=1+(+++…+)-=-=2-.所以Tn=4-,Sn=n+4-.4.(2015郑州第二次质量预测)已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且a3,a4+,a11成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)设等差数列公差为d,由题意知d>0.因为a3,a4+,a11成等比数列,所以(a4+)2=a3a11,所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d),即44d2-36d-45=0,所以d=(d=-舍去),所以an=.(2)bn===(-).所以Tn=(-+-+…+-)=.数列的综合问题训练提示:解答数列综合问题要善于用化归思想把非等差、等比数列问题转化为等差、等比数列问题,并结合函数与方程的思想方法分析、解决问题.数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分,先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式,然后再利用数列知识和方法求解.5.(2015郑州第二次质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求使(n-8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.解:(1)由Sn=2an-2可得a1=2,因为Sn=2an-2,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即=2.数列{an}是以a1=2为首项,公比为2的等比数列,所以an=2n(n∈N*).(2)bn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+2+3+…+n=.由(n-8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立,即实数≥k对n∈N*恒成立;设cn=(n-8)(n+1),则当n=3或4时,cn取得最小值为-10,所以k≤-10.【教师备用】(2015陕西卷)设fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2.(1)求f′n(2);(2)证明:fn(x)在(0,)内有且仅有一个零点(记为an),且0
0,所以fn(x)在(0,)内至少存在一个零点.又f′n(x)=1+2x+…+nxn-1>0,所以fn(x)在(0,)内单调递增,因此fn(x)在(0,)内有且仅有一个零点an.由于fn(x)=-1,所以0=fn(an)=-1,由此可得an=+>,故
