高考数学异构异模复习 第十八章 不等式选讲 18.2 不等式的证明撬题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

2018高考数学异构异模复习考案第十八章不等式选讲18.2不等式的证明撬题理1．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．答案解析由柯西不等式：·≥ma＋nb，∴≥＝.2.设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得＋>＋.②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．3．设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．证明由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得00，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明由基本不等式分别当且仅当x＝y2＝1，x2＝y＝1时，“＝”成立．因此(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9＝9xy，当且仅当x＝y＝1时，“＝”成立．5．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r为正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.解(1)∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，“＝”成立，∴f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明：由(1)知，p＋q＋r＝3，又p，q，r是正实数，∴(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9.即p2＋q2＋r2≥3.