【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第4章第1节平面向量的概念及线性运算课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1．若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么＝________.[解析]因为D为BC边的中点，∴OB＋OC＝2OD，又2OA＋OB＋OC＝0，∴2OA＋2OD＝0，即AO＝OD.因此AD＝2AO，故＝.[答案]2．(2014·镇江质检)若a＋c与b都是非零向量，则“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的________条件．[解析]若a＋b＋c＝0，则b＝－(a＋c)，∴b∥(a＋c)；若b∥(a＋c)，则b＝λ(a＋c)，当λ≠－1时，a＋b＋c≠0.因此“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的充分不必要条件．[答案]充分不必要3．如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，AF＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，则k＝________.[解析]∵AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，∴AC＝AB＋BC＝3e1－2e2.∵A，C，F三点共线，∴AC∥AF，从而存在实数λ，使得AC＝λAF.∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，又e1，e2是不共线的非零向量，∴因此k＝2.[答案]24．(2014·南京调研)在△ABC中，点D是BC边上的点，AD＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λμ的最大值为________．[解析]∵D在边BC上，且AD＝λAB＋μAC，∴λ＞0，μ＞0，且λ＋μ＝1，∴λμ≤2＝，当且仅当λ＝μ＝时，取“＝”号．[答案]5．(2014·泰州市期末考试)在△ABC中，BD＝2DC，若AD＝λ1AB＋λ2AC，则λ1λ2的值为________．[解析]AD＝AC＋CD＝AC＋CB，而CB＝AB－AC，所以AD＝AB＋AC，所以λ1＝，λ2＝，则λ1λ2＝.[答案]6．(2014·南京市调研)如图413所示，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点，F为边AB上的点，且AB＝3AF，若AD＝xAF＋yAE，x，y∈R，则x＋y的值为________．图413[解析]∵D为BC的中点，∴AD＝(AB＋AC)＝(3AF＋2AE)＝AF＋AE，故x＝，y＝1，∴x＋y＝.[答案]7．(2014·宿迁质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为________．[解析]设AB的中点为D，如图所示，由5AM＝AB＋3AC得3AM－3AC＝2AD－2AM，即3CM＝2MD.故C，M，D三点共线，且MD＝CD.所以＝＝＝.[答案]8．(2014·扬州质检)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|BC|＝4，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.[解析]延长AM至点D，连结BD、CD，则ABDC为平行四边形，AB＋AC＝AD，AB－AC＝CB，∵|AB＋AC|＝|AB－AC|，∴|AD|＝|CB|＝4，∴|AM|＝|AD|＝2.[答案]2二、解答题9．设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解](1)∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0，∴k＝±1.10．在△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.图414[解]⇒AE＝AC＝b.BC＝AC－AB＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE＝BC＝(b－a)．又AM是△ABC的中线，DE∥BC，得DN＝DE＝(b－a)．又AM＝(AB＋AC)＝(a＋b)．⇒AN＝AM＝(a＋b)．[B级能力提升练]一、填空题1．如图415所示，平面内三图415个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．[解析]以OC为对角线，OA，OB方向作平行四边形(如图所示ODCE)．由已知∠COD＝30°，∠COE＝90°，在Rt△OCD中，∵|OC|＝2，则|OD|＝＝4；在Rt△OCE中，|OE|＝|OC|·tan30°＝2，∴OD＝4OA，OE＝2OB，又OC＝OD＋OE＝4OA＋2OB.∴λ＝4，μ＝2，故λ＋μ＝6.[答案]62．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．[解析]OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．[答案]直角三角形二、解答题3．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．[解]如图，记AM＝，AN＝，则AM，AN都是单位向量，∴|AM|＝|AN|，AQ＝AM＋AN，则四边形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC.∵OP＝OA＋AP，由条件知OP＝OA＋λAQ，∴AP＝λAQ(λ∈[0，＋∞))，∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心．
