７．６锐角三角函数的简单应用学习目标导航能说出仰角、俯角、坡角、坡度等概念,并会用解直角三角形的有关知识解决某些实际问题．教材知识详析要点１基本概念及简单应用１．仰角、俯角的概念及应用．２．坡角、坡度的概念及应用．３．方位角、方向角的概念及应用．例１若某人沿坡度i＝３∶４的斜坡前进了１０m,则他所在的位置比原来的位置升高了m．图７．６Ｇ１精析:如图７．６Ｇ１,由坡度的定义可知i＝tanα＝BCAC＝３４．设BC＝３k,则AC＝４k,由勾股定理可知AB＝BC２＋AC２＝(３k)２＋(４k)２＝５k． AB＝１０,即５k＝１０,∴k＝２．∴BC＝３×２＝６(m),即他所在的位置比原来的位置升高了６m．故填６．解答:６．例２如图７．６Ｇ２,为了测量某建筑物AB的高度,在平地上C处测得该建筑图７．６Ｇ２物顶端A的仰角为３０°,沿CB方向前进１２m到达D处,在D处测得该建筑物顶端A的仰角为４５°,则建筑物AB的高度等于()．A．６(３＋１)mB．６(３－１)mC．１２(３＋１)mD．１２(３－１)m精析:本题只要搞清两个直角三角形中３０°、４５°的角的对边都是AB,而邻边CB与DB的差为１２m,即CB－DB＝CD．只要建立方程即可解决．解答:A．要点２应用锐角三角函数解决实际问题要能将实际问题转化为数学问题来解决,即如何在应用题中抽象出几何图形,并构造出直角三角形,从而利用数形结合加以解决．例３如图,我渔政３１０船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政３１０船航向不变,航行半小时后到达B处,此时观测到我渔船C在北偏东３０°方向上．问渔政３１０船再航行多久,离我渔船C的距离最近?(假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)图７．６Ｇ３(１)精析:过点C作AB的垂线,设垂足为D．由题易知∠CAB＝４５°,∠CBD＝６０°．先在Rt△BCD中,得到CD＝３BD,再在Rt△ACD中,得到CD＝AD,据此得出BDAB＝３＋１２,然后根据匀速航行的渔船其时间之比等于路程之比,从而求出渔船行驶BD的路程所需的时间．解答:作CD⊥AB于点D,设BD＝x,图７．６Ｇ３(２) ∠BCD＝３０°,∴CD＝３x． ∠CAD＝４５°,∴AD＝CD＝３x,AB＝３x－x．依据题意,３x－x＝０．５,得x＝３＋１４,即再航行３＋１４小时,离渔船C的距离最近．利用勾股定理或三角函数都可很顺利的解出结果．此题的关键是用小时来表示AB间的距离最近．拉分典例探究综合应用例１(要点２)莱芜某大型超市为了缓解停车难的问题,建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定,停车场坡道口上坡要张贴限高标志,以便告知车辆能否安全驶入．请根据图７．６Ｇ４求出汽车通过坡道口的限高DF的长．(结果精确到０．１m)(参考数据:sin２８°≈０．４７,cos２８°≈０．８８,tan２８°≈０．５３)图７．６Ｇ４精析:直接将实际问题转化为数学问题来解决,关键在于构造直角三角形．解答:在Rt△ABC中,∠A＝２８°,AC＝９,∴BC＝ACtan２８°≈９×０．５３＝４．７７．∴BD＝BC－CD＝４．７７－０．５＝４．２７．∴在Rt△BDF中,∠BDF＝∠A＝２８°,BD＝４．２７,∴DF＝BDcos２８°≈４．２７×０．８８＝３．７５７６≈３．８．故坡道口限高DF的长是３．８m．分析对比:注意题目的精确度,过程中的数据比要求的精确度至少要多保留一位．例２(要点１)如图７．６Ｇ５,某堤坝的横截面是梯形ABCD,背水坡AD的坡度i(即tanα)为１∶１．２,坝高为５m,现为了提高堤坝的防洪抗洪能力,市防汛指挥部决定加固堤坝,要求坝顶CD加宽１m,形成新的背水坡EF,其坡度为１∶１．４,已知堤坝总长度为４０００m．(１)求完成该工程需要多少土方?(２)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要２０天,准备开工前接到上级通知,汛期可能提前,要求两个工程队提高工作效率,甲队工作效率提高３０％,乙队工作效率提高４０％,结果提前５天完成．问:这两个工程队原计划每天各完成多少土方?图７．６Ｇ５精析:画出符合题意的图形,可知加宽部分的横截面ADEF是一个梯形,故通过作梯形的高构造直角三角形,利用坡度的变化求解．解答:(１)作DG⊥AB,垂足为G,作EH⊥AB,垂足为H． CD∥AB,∴EH＝DG＝５(m)． DGAG＝１１．２,∴AG＝６(m)． EHFH＝１...
