3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【选题明细表】知识点、方法题号常用函数的导数1,3,8导数的计算2,7导数的几何意义4,5,10综合问题6,9,11,12,13【基础巩固】1.下列结论①(sinx)′=-cosx;②()′=;③(log3x)′=;④(lnx)′=.其中正确的有(B)(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:在①中(sinx)′=cosx,在②中()′=-,在③中(log3x)′=,④正确.故选B.2.已知f(x)=x2,则f′(3)等于(C)(A)0(B)2x(C)6(D)9解析:因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x,所以f′(3)=6.故选C.3.函数y=x2sinx的导数为(A)(A)y′=2xsinx+x2cosx(B)y′=2xsinx-x2cosx(C)y′=x2sinx+2xcosx(D)y′=x2sinx-2xcosx解析:因为y=x2sinx,所以y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.故选A.4.已知f(x)=x3的切线的斜率等于1,则其切线方程有(B)(A)1个(B)2个(C)多于两个(D)不能确定解析:因为f′(x)=3x2,所以令3x2=1,得x=±.所以可得切点坐标为(,)和(-,-).1所以f(x)=x3有两条斜率为1的切线.故有两个切线方程.故选B.5.(2018·大理高二检测)曲线y=在点(,)处切线的倾斜角为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由于y=,所以y′=,于是y′=1,所以曲线在点(,)处的切线的斜率等于1,倾斜角为.故选B.6.(2018·葫芦岛高二检测)曲线y=ex在(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D)(A)e2(B)2e2(C)e2(D)解析:y′=ex,所以y′x=2=e2,所以切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1.所以S三角形=×1×|-e2|=.故选D.7.(2018·大连高二双基检测)已知f(x)=x3+3xf′(0),则f′(1)=.解析:由于f′(0)是一常数,所以f′(x)=x2+3f′(0),令x=0,则f′(0)=0,所以f′(1)=12+3f′(0)=1.答案:18.求下列函数的导数:(1)y=-lnx;(2)y=(x2+1)(x-1);(3)y=;(4)y=.解:(1)y′=(-lnx)′=()′-(lnx)′=-.(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′=(x3)′-(x2)′+x′-1′2=3x2-2x+1.(3)y′==.(4)y′==.【能力提升】9.(2018·昆明高二质检)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,(x)=f′n(x),n∈N,则f2018(x)等于(B)(A)sinx(B)-sinx(C)cosx(D)-cosx解析:因为f0(x)=sinx,所以f1(x)=f′0(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=f′1(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=f′2(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=f′3(x)=(-cosx)′=sinx,所以4为最小正周期,所以f2018(x)=f2(x)=-sinx.故选B.10.(2018·桂林高二检测)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是(C)(A)1(B)(C)1或(D)1或-解析:因为(0,0)在f(x)上,当O(0,0)为f(x)的切点时,因为k=f′(0)=2,所以l方程为y=2x,又l与y=x2+a相切,所以x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,得a=1;当O(0,0)不是f(x)的切点时,设切点为(x0,-3+2x0),则k=3-6x0+2,所以=3-6x0+2,得x0=,所以k=-,所以l:y=-x.由得x2+x+a=0,由题意得Δ=-4a=0,所以a=.综上得a=1或a=.故选C.11.已知f(x)=cosx,g(x)=x,则关于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集为.解析:f′(x)+g′(x)=-sinx+1≤0,所以sinx≥1,又sinx≤1,所以sinx=1,所以x=+2kπ,k∈Z.答案:{xx=+2kπ,k∈Z}12.(2018·银川高二月考)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.3(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解:f′(x)=a+.因为点(2,f(2))在切线7x-4y-12=0上,所以f(2)==.又曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0,所以⇒⇒所以f(x)的解析式为f(x)=x-.(2)证明:设(x0,x0-)为曲线y=f(x)上任意一点,则切线斜率k=1+,切线方程为y-(x0-)=(1+)(x-x0),令x=0,得y=-.由得所以曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积S=|2x0|-=6,为定值.【探究创新】13.(2018·武夷山高二检测)已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧AOB上求一点P,使△ABP的面积最大,并求最大值.解:设P(x0,y0),过点P作与AB平行的直线为l,如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),4联立方程组,得得x2-12x+16=0,x1+x2=12,x1x2=16,所以|AB|=|x1-x2|=·=·=10,要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,而P点是抛物线的弧AOB上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点,由图知点P在x轴上方,y=,y′=,由题意知kAB=.所以kl==,即x0=1,所以y0=1.所以P(1,1).又点P到直线AB的距离d===,所以S△PAB=×|AB|·d=×10×=5.故所求点为P(1,1),△ABP的面积最大值为5.5
