初中数学构造平行线解题三例 试题VIP免费

初中数学构造平行线解题三例在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。平行线是初中平面几何最基本的，也是非常重要的图形。在解某些平面几何问题时，若能根据解题的需要，添加恰当的平行线，则能使证明流畅、简洁。本文选取添加平行线解题几例，帮助同学们加深对这种转化思想方法的理解。例1如图1所示，直线a//b，则∠A=__________度。（05年浙江中考）图1分析∠A的大小显然与所给的两个角的大小有关。受直观的启发，不妨过A点引直线a的平行线AD，从而有AD//b，再利用两直线平行内错角相等，求出∠A的度数。解如图2，过点A作AD//a，由a//b，得AD//a//b于是有∠DAB=28°，∠DAC=50°故∠BAC=∠DAC－∠DAB=22°即∠A=22°图2注这里是用平行线的性质，通过添加a的平行线，将28°，50°的两个角“转移”到A点处，从而实现问题的解决。例2试证明：三角形内角之和等于180°。分析同学们都知道，平角为180°。若能运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边的平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点，得到平角的结论，问题即可解决。如果将平角的顶点设在某一边内，或在除三角形三边外的其它任意一点处，按照上述的转化思想，也可求解。同学们不妨一试。证明如图3，过点A引l//BC，则∠B=∠1，∠C=∠2（内错角相等）显然∠1＋∠BAC＋∠2=平角=180°所以∠A＋∠B＋∠C=180°即三角形内角之和等于180°图3例3如图4所示，AA1//BA2，求。图4分析题中并未给出∠A1、∠A2、∠B1的确定值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关。也就是说，无论∠A1、∠A2、∠B1的大小如何，答案应是确定的。从图形出发，直观猜想答案可能是零，即∠A1＋∠A2=∠B1。上式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二，使其分别等于∠A1与∠A2，自然想到过B1点引AA1（从而也是BA2）的平行线，它将∠B1一分为二。解如图5，过点B1作B1E//AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1和∠2。因为AA1//BA2所以B1E//BA2从而∠1=∠A1，∠2=∠A2，（内错角相等）所以∠A1B1A2=∠1＋∠2=∠A1＋∠A2即∠A1－∠B1＋∠A2=0°图5注（1）从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1//BA2，它与连接A1、A2两点之间的折线段的数目无关，如图6所示。连接A1、A2之间的折线段增加到4条：A1B1、B1A2、A2B2、B2A3，仍然有∠A1＋∠A2＋∠A3=∠B1＋∠B2（即那些向右凸出的角的和=向左凸出的角的和）即∠A1－∠B1＋∠A2－∠B2＋∠A3=0°上述结论可进一步推广为：如果AA1//BAn，那么∠A1－∠B1＋∠A2－∠B2＋…＋∠Bn-1＋∠An=0°这时，连结A1、An之间的折线段共有段：。图6（2）这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题。问题1如图7，∠A1＋∠A2=∠B1，试判断AA1与BA2是否平行？图7问题2如图8，若∠A1＋∠A2＋…＋∠An=∠B1＋∠B2＋…＋∠Bn-1，试判断AA1与BAn是否平行？图8以上两个问题请同学们加以思考。