绵阳市高2013级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．AADCDCBBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．212．-54013．11.514．-≤m≤15．①②三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（I）第四组的人数为[1-(0.004+0.008+0.016+0.04)×10]×50=16，中位数为40+[0.5-(0.004+0.016)×10]÷0.04=47.5．………………………4分（II）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人，于是ξ=0，1，2，∴P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，∴ξ的分布列为ξ012P……………………………………………………………………10分∴Eξ=0×+1×+2×=1．………………………………………………12分17．解：（I）在△ABC中，由正弦定理有，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入b=acosC+csinA中，即得2RsinB=2RsinAcosC+2RsinCsinA，∴sinB=sinAcosC+sinCsinA．…………………………………………………3分 sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinAcosC+sinCsinA，即sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，整理得，cosAsinC=sinCsinA，由sinC≠0，可得cosA=sinA，∴A=．………………………………………………………………………5分（II）在△ABC中，sinB=，由即，解得AC=，………………………………7分又 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-+=，∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=32+25-2××5×=49，∴AB=7，……………………………………………………………………10分于是由可得BD=1，∴CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cosB=1+25-2×1×5×=20，∴CD=．…………………………………………………………………12分18．解：（I）当n=1时，a1=S1=，整理得(a1-1)2=0，解得a1=1．当n≥2时，an=Sn-=，整理得，即， an>0，∴>0，∴，∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an=1+2(n-1)=2n-1．………………………………………………………5分（II），∴Tn=++…+===，…………………………………………………………………8分由题知≤λ(2n+1)对n∈N*恒成立，即λ≥对n∈N*恒成立，…………………………………………9分令bn=，则， 对n∈N*，2n+1≥3，∴-(2n+1)2+2<0，即，于是，∴{bn}是单调递减数列，……………………………………………………11分即数列{bn}的最大值为b1=，∴λ≥，即λ的最小值为．………………………………………………12分19．（I）证明：由题意，AD//EF， EF面BEF，AD面BEF，∴AD//面BEF．………………………………………………………………2分又 AD面ABCD，面ABCD∩面BEF=l，∴AD//l，………………………………………………………………………3分由主视图可知，AD⊥CD，由侧视图可知，DE⊥AD， CD∩AD=D，∴AD⊥面CDE．∴l⊥面CDE．……………………………………………6分（II）如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1)，∴=(1，0，0)，=(0，-1，1)，……7分设面BEF的一个法向量n=(x，y，z)，则由·n=0，·n=0可得令y=1，则z=1，∴n=(0，1，1)，…………………………9分设M(0，0，m)，则=(0，2，-m)，∴cos<，n>=，解得m=或m=6（舍），即存在满足点M，此时M的位置在线段DE的处（靠近E点）．……12分20．解：（I）设焦点F(c，0)，则，从而a2=2c2，由题意有，即，解得b2=2，又由a2=b2+c2，于是2c2=2+c2，解得c2=2，a2=4，∴椭圆E的方程为．………………………………………………4分（II）依题意可知BC⊥AC，且∠BCO=∠ACO=45º，ABCDEFxyzM于是直线BC的斜率为kBC=1，直线AC的斜率为kAC=-1，………………6分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(0，y0)，则，，∴x1=y0-y1=-k(x1-1)+y0，x2=y2-y0=k(x2+1)-y0，相加得x1+x2=k(x2-x1)．………………8分联立消去y，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0，∴x1+x2=，x1x2=．………………………………………10分把x1+x2=k(x2-x1)两边同时平方，可得(x1+x2)2=k2[(x1+x2)2-4x1x2]，代入可得()2=k2[()2-4×()]，化简可得4k2+1=2，或k2=0，解得k=，或k=0，即存在满足条件的k值，k=，或k=0．……………………...
