函数单调性的充要条件及应用 学法指导 不分版本 试题VIP免费

函数单调性的充要条件及应用郑定华1.有关结论新教材第三册中给出了函数的单调性的充分条件：一般地，设函数在某个区间有导数，如果在这个区间内，那么f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y'<0，那么f(x)为这个区间内的减函数。利用这一结论求复杂函数的单调区间十分方便，但要解决单调性的逆向问题，利用单调性的充要条件更加方便。函数单调性的充要条件：（1）对于可导函数，如果方程在某个区间上至多有孤立解，那么在这个区间上，f(x)为增函数的充要条件是；f(x)为减函数的充要条件是。（2）连续函数在闭区间[a，b]与开区间（a，b）上具有相同的单调性。2.应用例1.若函数在区间（1，4）内为减函数，且在区间（6，）内为增函数，求实数a的取值范围。解：，其图象开口向上，对称轴为直线由在区间（1，4）内为减函数知对恒成立即解得由在区间（6，）内为增函数知对恒成立或解得综上，得例2.已知函数在区间上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，且（1）求的表达式；（2）设，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围。解：（1），其图象开口向上因为f(x)在区间上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减所以当时，取得极值故，得所以因为f(x)在区间[-2，2]上单调递减所以对恒成立即解得又，所以b＝0于是所以（2）对任意的，不等式恒成立，等价于在区间上，。由，得所以f(x)的减区间为[-2，2]由，得所以f(x)在区间上单调递减当时故即解得或又所以