四川省绵阳市2015届高三数学第二次诊断性考试试题理（扫描版）绵阳市高2012级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准①当，即时，，即．②当即时，，此时.将，代入检验正确.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．12．-16013．14．15．①③15．提示：③法一：和是(-1，1)上的“接近函数”，结合图形，使，令，，即时，；时，．所以．法二：数形结合求出直线和半圆相切时切点，当直线和圆在的“竖直距离”为1时，．④若与是上的“远离函数”，即，．令，则在递减，在递增，∴；令，，易得在递增，在递减，∴，∴．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A，则为所选取的人中没有1人为“满意观众”，∴P(A)=1-P()=1-=1-=，即至少有1人为“满意观众”的概率为．………………………………4分(Ⅱ)由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为，即从观看此影片的“满意观众”的概率为，同理，不是“满意观众”的概率为．…6分由题意有ξ=0，1，2，3，则P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，∴ξ的分布列为ξ0123P……………………………………………………………10分∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=2．………………………12分17．解：(Ⅰ)如图，连结AC、BD交于O，连结OE．由ABCD是正方形，易得O为AC的中点，从而OE为△PAC的中位线，∴EO//PA． EO面EBD，PA面EBD，∴PA//面EBD．………………………………………………………………4分(Ⅱ)由已知PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD，PD⊥CD．如图，以DA，DC，DP所在直线为坐标轴，D为原点建立空间直角坐标系．设AD=2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，=(2，2，-2)，(2，0，0)．…………………………………6分设F(x0，y0，z0)，，则由=(x0，y0，z0-2)，得(x0，y0，z0-2)=λ(2，2，-2)，即得于是F(2λ，2λ，2-2λ)．∴=(2λ，2λ-1，1-2λ)．又EF⊥PB，∴，解得．∴，．………………………………………8分设平面DAF的法向量是n1=(x，y，z)，则即令z=1，得n1=(0，-2，1)．又平面PAD的一个法向量为n2=(0，1，0)，………………………………10分设二面角P-AD-F的平面角为θ，则cosθ=，即二面角P-AD-F的余弦值为．………………………………………12分18．解：(Ⅰ)由余弦定理得，则．…………………………………………………4分(Ⅱ)由A+B+C=π有C=π-(A+B)，于是由已知sinB+sinC=得，即，将，代入整理得．①………7分根据，可得．代入①中，整理得8sin2B-4sinB+5=0，BACPDEFOxyz解得．……………………………………………………………10分∴由正弦定理有．………………12分19．解：(Ⅰ) 二次函数的对称轴为x=，∴an≠0，，整理得，………………………2分左右两边同时乘以，得，即(常数)，∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，∴．……………………………………………………………5分(Ⅱ) ，①，②①-②得：，整理得．…………………………………………………………8分 =>0，∴数列{Sn}是单调递增数列．………………………………………………10分∴要使Sn<3成立，即使<3，整理得n+2>，∴n=1，2，3．………………………………………………………………12分20．解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为，焦点坐标为(c，0)，由题知：结合a2=b2+c2，解得：a2=3，b2=2，∴椭圆E的标准方程为．………………………………………4分(Ⅱ)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)，由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4，联立方程消去，得，于是x1+x2=，x1x2=．①………………………7分又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，则可转化为，整理得：．…………………………………………10分将①代入可得，……12分∴，消去参数得，即H点恒在直线上．………13分21．解：(Ⅰ) ，x∈(0，+∞)，………………………1分∴a=2时，=0，∴解得x=，x=-1(舍)．即的极值点为x0=．……………………………………………………3分(Ⅱ)．（1）时，在上是减函数，在上是增函数;时，对二次方程ax2+x-1=0，Δ=1+4a，（2）若1+4a0，即时，ax2+x-1<0，而x>0，故<0，∴在(0，+...
