由题意：CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG='DEDH=■=-J,2020-2021全国中考数学圆与相似的综合中考真题分类汇总附详细答案一、相似1.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E作EH丄DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MNIICD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值.【答案】（1）解：结论：CF=2DG.理由：T四边形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90°,TDE=AE,.AD=CD=2DE,TEG丄DF,.ZDHG=90°,.ZCDF+ZDGE=90°,ZDGE+ZDEG=90°,.ZCDF=ZDEG,..△DEG~△CDF,D6DE1•••-■=-=,.CF=2DGHM=.■=2,DM=CN=NK=、.‘.■=1,BGC丄3(2)解：作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值在RtADCK中，DK=、:■=二'「=2、：,:.△PCD的周长的最小值为10+2/.【解析】【分析】（1）结论：CF=2DG.理由如下：根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90°，根据中点的定义得出AD=CD=2DE,根据同角的余角相等得出/CDF=ZDEG，从而判断出△DEG-△CDF，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论；（2）作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最.：5短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK，由题意得CD=AD=10,ED=AE=5,DG=■,EG='，根据面积法求出DH的长，然后可以判断出△DEH相似于△GDH,根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=I,再根据面积法求出HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK=1,在RtADCK中，利用勾股定理算出DK的长,从而得出答案。2.设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形.以B为圆心，BD长为半径的OB与AB相交于F点，延长EB交OB于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD.求证：（1）AD是OB的切线；2）AD=AQ；（3）BC2=CF・EG.答案】（1）证明：连接BDT四边形BCDE是正方形，ZDBA=45°,ZDCB=90°，即DC丄AB,TC为AB的中点，•••CD是线段AB的垂直平分线，.AD=BD，.ZDAB=ZDBA=45°，.ZADB=90°，即卩BD丄AD,TBD为半径，•••AD是OB的切线(2)证明：TBD=BG,•ZBDG=ZG，TCDIIBE，•ZCDG=ZG，1•ZG=ZCDG=ZBDG=.ZBCD=22.5°，•ZADQ=90°-ZBDG=67.5°,ZAQB=ZBQG=90°-ZG=67.5°,•ZADQ=ZAQD，•AD=AQ(3)证明：连接DF，在厶BDF中，BD=BF，•ZBFD=ZBDF，又TZDBF=45°,•ZBFD=ZBDF=67.5°，TZGDB=22.5°，在RtADEF与RtAGCD中，TZGDE=ZGDB+ZBDE=67.5°=ZDFE，ZDCF=ZE=90°，•RtADCF-RtAGED,OF_CL•.■-一二,又:CD=DE=BC,二BC2=CF・EG.【解析】【分析】(1)连接BD,要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证明ZADB=即可。由正方形的性质易得BC=CD，ZDCB=ZDCA=“，ZDBC=ZCDB=•，根据点C为AB的中点可得BC=CD=AC，所以可得ZADC=，则ZZADB="，问题得证；aJ(2)要证AQ=AD，需证ZAQD=ZADQ。由题意易得ZAQD=-ZG，ZADQ=-ZBDG，根据等边对等角可得ZG=ZBDG，由等角的余角相等可得ZAQD=ZADQ，所以AQ=AD；(3)要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC，所以可知BC、CF、EG分别在三角形DCF和三角形GED中，连接DF，用有两对角对应相等的两个三角形相似即可得证。43.如图，在平面直角坐标系中，直线’'分别交x轴，y轴于点A，C,点D(m,4)在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且0B=20C.点E是y轴上任意一点，连结DE,将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG,作正方形DEFG，记点E为(0,n).(1)求点D的坐标；(2)记正方形DEFG的面积为S,①求S关于n的函数关系式；②当DFIIx轴时，求S的值；(3)是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)解：T点D(m,4)在直线AC上;44=m+8，解得m=-3,•••点D的坐标为(-3,4)(2)解：①如图1,过点D作DH丄y轴于H,在△DEM与△EFN中，.△DEM竺△EFN(AAS),贝9EH=|n-4|S=DE2=EH2+DH2=(n-4)2+9；②当DFIIx轴时，点H即为正方形DEFG的中心，.EH=DH=3,.n=4+3=7,.S=(7-4)2+9=18(3)解:TOB=2OC=16,.B为(16,0),.BC为:.NF=EM=n-4,EN=DM=3.F为(n-4,n-3)1出.n-3=-.(n-4)+8,.n=-；②当点G落在BC边...
