傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式VIP免费

周期信号的傅里叶级数分析连续时间LTI系统的时域分析:以冲激函数为基本信号系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积傅立叶分析以正弦函数或复指数函数作为基本信号系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分;周期信号:定义在区间(,)，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，如图所示。它可表示为f(t)=f(t+mT)其中m为正整数，T称为信号的周期，周期的倒数称为频率。ttf11T2/T0周期信号的特点：（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的时间范围为(,)（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成，则周期信号()ft可以写成0()()nftftnT（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有0()()()aTbTTabftdtftdtftdt1.三角形式的傅立叶级数周期信号ft()，周期为T1，角频率ω1=2πf1=2πT1该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。f(t)=a0+a1cos(ω1t)+b1sin(ω1t)+a2cos(2ω1t)+b2sin(2ω1t)+...+ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)+...¿a0+∑n=1∞[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]式中各正、余弦函数的系数an,bn称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示。傅立叶系数公式如下{a0=1Tt0t0+Tf(t)dt¿{an=2Tt0t0+Tf(t)cosnω1tdtn=1,2,⋯¿¿¿¿¿式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取(0,T)或(−T2,T2)三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式f(t)=c0+∑n=1∞cncos(nω1t+ϕn)或f(t)=d0+∑n=1∞dnsin(nω1t+θn)两种形式之间系数有如下关系:c0=a0=d0cn=dn=√an2+bn2ϕn=−arctgbnan,θn=arctganbnan=cncosϕn=dnsinθnn=1,2,⋯¿}¿¿¿2．指数函数形式的傅里叶级数利用欧拉公式:cos(nω1t)=ejnω1t+e−jnω1t2sin(nω1t)=je−jnω1t−ejnω1t2ejnω1t=cos(nω1t)+sin(nω1t)e−jnω1t=cos(nω1t)−jsin(nω1t)f(t)=a0+∑n=1∞[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]=a0+∑n=1∞[anejnω1t+e−jnω1t2+jbne−jnω1t−ejnω1t2]=a0+∑n=1∞[12(an−jbn)ejnω1t+12(an+jbn)e−jnω1t]令：F(nω1)=12(an−jbn)=1T0Tf(t)cos(nω1t)dt−j1T0Tf(t)sin(nω1t)dt由欧拉公式=1T0Tf(t)e−jnω1tdtF(−nω1)=12(an+jbn)=1T0Tf(t)cos(nω1t)dt+j1T0Tf(t)sin(nω1t)dt=1T0Tf(t)ejnω1tdt令：F(0)=a0前面的级数可展成指数形式系数f(t)=∑n=−∞∞F(nω1)ejnω1tFn=F(nω1)=1T0T1f(t)e−jnω1tdt注意:这里n的区间为(−∞,∞),与三角形式不同。周期信号可分解成数信号ejnω1t的线性组合。F如给出(nω1)，f则(t)惟一确定。注意：F(nω1)是一个复数,有模和辐角由于F(±nω1)=12(an∓jbn),其模等于√a2+b22辐角等于∓arctgbnan在傅立叶三角表示式中:cn=√an2+bn2;ϕn=−arctgbnan可知系数Fn的模|F(nω1)|=cn2;辐角等于三角表示的初相角±ϕnF(nω1)是一个随着频率(nω1)变化而变化的复数,他唯一地表示了f(t)在傅立叶级数中，无论三角函数表示还是指数函数表示，都是通过三个量完整地表示一个函数：(1)频率nω1(2)nω在1下基底的幅度值|F(nω1)|c或n(3)nω在1下基底的相位值ϕn指数表示的基底为ejnω1t三角表示的基底为cos(nω1t)