【成才之路】-学年高考数学3-4-1基本不等式课后强化作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A.B．a2＋b2C．2abD．a[答案]B[解析]解法一： 0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜，又 a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab， 1＝a＋b＞2，∴ab＜，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，即a2＋b2＞.故选B.解法二：特值检验法：取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝， ＞＞＞，∴a2＋b2最大．2．(～学年度湖南师大附中高二期中测试)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D.[答案]B[解析]根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴＋＝＋＝2≥＋＋4.当a＝b“”＝时＝成立．故选B.3．若0
2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．4．设a、b是正实数，A＝＋，B＝，则A、B的大小关系是()A．A≥BB．A≤BC．A＞BD．A＜B[答案]C[解析] a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，A2－B2＝(a＋b＋2)－(a＋b)＝2＞0，∴A2＞B2， A>0，B>0，∴A＞B.5．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥[答案]B[解析] 这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.∴1＋x≤＝＝1＋，∴x≤，等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.6．(～学年度山西忻州一中高二期中测试)a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是()A.B．－C．1D．－1[答案]A[解析]由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)≤＝×()2＝.二、填空题7．若00，∴x(1－x)≤[]2＝，等号在x＝1－x，即x＝时成立，∴所求最大值为.8．(～学年度湖南师大附中高二期中测试)已知t>0，则函数y＝的最小值是________．[答案]－2[解析] t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．三、解答题9．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．[解析]不对．设左右臂长分别为l1，l2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a、b，真实重量为G，则由杠杆平衡原理有：l1·G＝l2·a，①l2·G＝l1·b，②①×②得G2＝ab，∴G＝，由于l1≠l2，故a≠b，由均值不等式＞知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均数.能力提升一、选择题1．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数[答案]A[解析] x<0，∴f(x)＝2x＋－1≤－2－1＝－2－1，等号在－2x＝，即x＝－时成立．∴f(x)有最大值．2．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A．0B．1C．2D．4[答案]D[解析]由等差、等比数列的性质得＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.3．设a、b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.≥＋2[答案]D[解析]a＝b时，A不成立；a、b<0时，B、C都不成立，故选D.[点评]对于D选项， ab>0，∴>0，∴≥＋2＝2.4．已知0＜a＜1,0＜x≤y＜1，且logax·logay＝1，那么xy()A．无最大值也无最小值B．无最大值而有最小值C．有最大值而无最小值D．有最大值也有最小值[答案]C[解析] 00，logay>0，1＝logax·logay≤()2＝[loga(xy)]2＝(loga)2， 0<<1，∴loga>0，∴loga≥1，∴0<≤a，∴0b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg()，则P、Q、R的大小关系是________．[答案]Pb>1，所以lga>lgb>0，所以(lga＋lgb)>，即Q>P，又因为>，所以lg>lg＝(lga＋lgb)，所以R>...
