中考专题复习之相似三角形（二）知识考点：本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用精典例题：【例1】如图，在△ABC中，AB＝14cm，95BDAD，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积和周长。分析：由AB＝14cm，CD＝12cm得ABCS＝84，再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE，有2ABADSSABCADE可求得ADES，利用勾股定理求出BC、AC，再用相似三角形的性质可得△ADE的周长。答案：△ADE的面积为775cm2，周长为15cm。例1图EDCBA例2图QPMFEDCBA变式1图PNMCBA【例2】如图，正方形DEMF内接于△ABC，若1ADES，4DEFMS正方形，求ABCS分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P，利用ADES可得AP及AQ的长，再由△ADE∽△ABC求出BC，从而求得ABCS。解： 正方形的面积为4，∴DE＝MF＝2。过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P 1ADES，∴AP＝1 DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴BCDEAQAP，即BC231∴BC＝6，故ABCS＝9变式1：如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21cm，CA＝15cm，求菱形AMNP的周长。答案：35cm变式2：如图，在△ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12cm，AH＝8cm，求矩形的各边长。变式2图HMDEFGCBA3S2S1S例3图TRNMPCBA问题一图PNMDCBA答案：724cm，748cm【例3】如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积1S、2S、3S，分别为4、9、49，求△ABC的面积。解：设MP＝p，RT＝r，PN＝q，由于1S、2S、3S都相似于△ABC，设△ABC的面积为S，AB＝c，则有cqS2，cpS3，crS7，三式相加得：1732cccrqpS∴12S，故144S探索与创新：【问题一】如上图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，过BD上一点P作MN∥BC交AB、DC于M、N，若AM∶MB＝m∶n。（1）计算PM、PN的长；（2）当a∶b＝m∶n时，PM与PN有怎样的关系？（3）在什么条件下才能得到MN＝)(21ba。略解：（1） MN∥BC，AD∥BC，∴△BPM∽△BDA，△DPN∽△DBC∴BABMDAPM，ABAMDCDNBCPN又 AM∶MB＝m∶n，∴BM∶AB＝n∶)(nm∴AM∶AB＝m∶)(nm∴anmnPM，bnmmPN（2） anmnPM，bnmmPN∴当mbna，即a∶b＝m∶n时，才有PM＝PN；（3） MN＝PM＋PN＝nmmbna，由nmmbnaba)(21可得：0)))((nmba从而0ba或0nm故当ba，且四边形ABCD为平行四边形时，MN＝)(21ba或nm且MN为梯形（或平行四边形）的中位线时，MN＝)(21ba。【问题二】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD、BC的长度分别为a、b)(ba，梯形ABCD的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF（点E、F分别在AB、CD上），使EF把梯形ABCD分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF的长度如何求？试求出EF的长度。解：延长BA、CD相交于点O，设EF＝x，△OAD的面积为0S，梯形ABCD的面积为S2， AD∥EF，∴△OEF∽△OAD∴2ADEFSSOADOEF，即2200axSSS整理得2201axSS⋯⋯⋯①同理△OBC∽△OAD，22002abSSS，整理得22021abSS⋯⋯⋯②，由①②消去0SS得：222221abax即2222bax， 0x，∴222bax，即EF＝222ba跟踪训练：一、填空题：1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，AD∶BC＝3∶5，则AO∶OC＝，AODS∶BOCS＝，AODS∶AOBS＝。2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为。3、两个相似三角形面积之差为9cm2，对应角平分线的比是2∶3，这两个三角形的面积分别是。第1题图ODCBA第4题图FEGDCBA4、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，如果AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，则DFGES四边形∶FBCGS四边形＝。二、选择题：1、如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（）A、1∶2B、1∶4C、4∶9D、2∶3第1题图FEGDCBA第2题图OEDCBA2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，DOES∶COBS＝4∶9，则AE∶EC为（）ba问题二图OEFDCBAA、2∶1B、2∶3C、4∶9D、5∶43、在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝6，AC＝3，则CD的长为（）A、1B、23C、2D、25三、解答题：1、如图已知，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与四边...
