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金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学（必做题）一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填写在答题卡相应的位置上．1．设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝▲．【答】｛x｜－1≤x＜2｝2.复数i2（1－2i）的实部是▲．【答】（－1）3.命题“x∈R，x2+ax+1<0”的否定是▲．【答】4.函数f（x）＝的定义域是▲．【答】（0，3］5.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=2,a3+a4+a5=8,则a4+a5+a6=▲.【答】166．已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，向量c＝2a＋b．则向量c的模为▲．【答】2【解析】｜c｜2＝（2a＋b）2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2×cos60°＋4＝12，即｜c｜＝27．在平面直角坐标系xOy中，已知y=x是双曲线－=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为▲．【答】2【解析】由题意，∴．8.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，则下列四个命题：①若α∥β,则l⊥m；②若α⊥β,则l∥m；③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m,则α∥β.其中正确命题的序号是▲．【答】①③9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y=5下方的概率为▲．【答】．【解析】点P在直线x＋y=5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故其概率为=．10.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)=f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=▲．【答】11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是▲．【答】(－2,1)12.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是▲．【答】13..定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x(∈－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0，2013]上的零点个数是_____▲．【答】604【解析】由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数.在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.14.已知函数f(x)=，若对任意的实数x1,x2,x3,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立，则实数k的取值范围是▲．【答】．【解析】，令，则．原题等价为：对于，恒成立，求实数k的取值范围．（1）当时，显然成立；（2）当时，，由，得；（3）当时，，由，得．综上，实数k的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)已知向量a=(2cosx,2sinx)，b=(cosx,cosx),设函数f(x)=a•b-,求：(1)f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若,且α∈(,π).求α.解===-3分(1)函数的最小正周期为---------------5分由，得（）∴函数的单调递增区间为---------------8分(2) ，∴，∴…………………………………………………………11分∴， ，∴，∴或，∴或---------------14分16．(本题满分14分)如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.（1）求证:GH∥平面CDE；（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，∴中，，---------------2分 ABCD为平行四边形∴AB∥CD∴，----------------------------------------------4分又 ∴平面-------------------7分⑵，所以，-------------------9分又因为四边形为正方形，，------------------10分，，------------------12分.----------------14分17．（本题满分14分）已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3a4，数列{bn}满足bn=，其前n项和为Sn．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若S2为S1，Sm(m∈N＊)的等比中项,求正整数m的值．(3)对任意正整数k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为ck,求数列{cn}的前n项和Tn解：（1）由题意，得解得