空间向量及运算VIP免费

9．10空间向量及运算要点透视：1．空间向量的运算和运算律空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似．这些运算不但适合中学里的代数运算律，而且有很多性质与实数性质完全相同．空间任意两个向量都可以(通过平移)转化为平面向量．两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．向量的减法是由向量的加法来定义的：减去一个向量就等于加上它的相反向量．由此可以推出向量等式的移项方法，即将其中任意一项变号后，从等式一端移到另一端．例如：由++=得+=－．2．空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式由共线向量定理可得空间直线的向量参数方程：＝＋t，如图，这意味着直线l上的点P和实数t之间是一一对应的关系，若取=，t=，则得到线段AB的中点公式：=(+).空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在实数对x，y，使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．3．空间向量基本定理及其推论空间向量基本定理说明，用三个不共面已知向量组，，，可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．4．两个向量的数量积的计算方法及其应用向量的数量积常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．5．用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：（1）要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？（3）所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？（4）怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？活题精析：例1．已知ABCD－A’B’C’D’是平行六面体，（1）化简：，并在图中标出结果；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC’B’对角线BC’上的分点，设，试求α，β，γ的值．要点精析（1）解这类问题，我们尽可能使第二个向量的起点与第一个向量的终点相合，再使第三个向量的起点与第二个向量的终点相合……,在本例中，先在图中标出，为此可取AA’的中点E，则=，又．为了标出，可在D’C’上取点F，使D’F=D’C’，因此，=，从而，=.（2）此题实际上是将用来表示，立即表示出来是有困难的，只能利用加法法则逐步表示出来：=.∴α=,β=，γ=.例2．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E．求证：（1）BD1⊥平面ACB1；（2）BE＝ED1．要点精析：（1）我们先证明BD1⊥AC： ，，∴=·==.∴BD1⊥AC，同理可证BD1⊥AB1，于是BD1⊥平面ACB1.（2）设底面正方形的对角线AC，BD交于点M，则，即，对于空间任意一点O，设=，=，，，则上述等式可改写成或，记．此即表明，由向量所对应的点E分线段B1M及D1B各成λ(=2)之比．所以点E既在线段B1M面ACB1上又在线段D1B上，所以点E是D1B与平面ACB1之交点，此交点E将D1B分成2与1之比，即D1E：EB=2：1．∴.例3．对于空间某一点O，空间四个点A，B，C，D(无三点共线)，=，=，=，=，求证：A，B，C，D四点共面的充要条件是存在四个非空实数α，β，γ，，使α+β+γ+=，且α+β+γ+=0．要点精析：证明：(必要性)假如A，B，C，D四点共面，因A，B，C三点不共线，故，两向量不共线，因此存在实数x，y，使=x+y，即－=x(－)+y(－)，或(x＋y－1)－x－y＋＝0．令α＝x＋y－1，β=－x，γ=－y，＝1，则α+β+γ+=，且α+β+γ+=(x+y－1)+(－x)+(－y)+1=0.(充分性)如果条件成立，则=－(α＋β＋γ)，代人得α+β+γ－(α+β+γ)=0，即α(－)＋β(－)＋γ(－)＝0，亦即．∴，∴共面，这样，A，B，C，D四点共面．练习题一、选择题1．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则为（）A．B．C．D．2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若，则x，y的值是（）A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x=，y=D．x=，y＝13．若向量{，，}是空间的一个基底，向量=＋，=－，那么可以与构成空间另一个基底的向量是（）A．B．C．D．24．，是非零向量，则<，>的范围是（）A．(0，)B．[0，]C．(0，π)D．[0，π]5．若与是垂直的...