辽宁省大石桥市水源二中九年级数学《探究类问题解析（二）》例题解析一、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△ABD，AD交FM于点K（如图2），设旋转角为（0°＜＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△AFM（如图3），FM与AD交于点P，AM与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？【解析】解：（1）BDMFBDMF，⊥．…………1分延长FM交BD于点N，图1CDMABFE图2DMKFABB1D1图3DMNBAPA2M2F2F由题意得：BADMAF△≌△．∴BDMF，ADBAFM．…………2分又 DMNAMF，∴90ADBDMNAFMAMF°，∴90DNM°，∴BDMF⊥．…………3分（2）的度数为60°或15°（答对一个得2分）…………7分（3）由题意得矩形2PNAA．设2AAx，则PNx，在222RtAMF△中， 228FMFM，∴2222443AMAF，，∴243AFx． 290PAF°，230PFA°，∴23tan3043APAFx°．∴34343PDADAPx． NPAB∥，∴DNPB． DD，∴DPNDAB△∽△．…………9分∴PNDPABDA．…………10分DMNBAPA2M2F2F∴34343443xx，解得623x．…………11分即2623AA．答：平移的距离是(623)cm．…………12分（其它方法可参照此答案给分）二、（本题12分）已知：正方形ABCD.（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF.此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论.（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转，当090时，连接BE、DF，此时（1）中结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转，当90时，连接BE、DF，猜想当AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE.请直接写出结论.（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转，当90180时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论.图3图4FEDCBAFEDCBAABCDEF图2图1FEDCBA【答案】（1）BE=DF且BE⊥DF（2）成立证明：延长DF交AB于点H，交BE于点G.在RtDAFRtBAE和中， DABAAFAE∴()RtDAFRtBAEHL∴,DFBEADFABE又 AHDBHG∴90DAHBGH∴BE=DF且BE⊥DF仍成立（3）(21)AEAD（4）菱形三、在ABC△中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与BC、重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE△，使ADAEDAEBAC，，连接CE．HABCDEFG（1）如图1，当点D在线段BC上，如果90BAC°，则BCE度；（2）设BAC，BCE．①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【解析】（1）90°．…………2分（2）①180°．…………3分理由： BACDAE，∴BACDACDAEDAC．即BADCAE．又ABACADAE，，∴ABDACE△≌△．…………6分∴BACE．∴BACBACEACB．∴BACB．…………7分AEEACCDDBB图1图2AA备用图BCBC备用图 180BACB°，∴180°．…………8分②当点D在射线BC上时，180°．…………10分当点D在射线BC的反向延长线上时，．…………12分四、将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90º，∠A＝∠D＝30º，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．(1)求证：AF＋EF＝DE；(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且0º＜＜60º，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立；(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60º＜＜180º，...
