第56讲圆的方程1．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程是(A)A．(x－2)2＋(y＋3)2＝5B．(x－2)2＋(y－3)2＝5C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5线段AB的垂直平分线为y＝－3，由解得所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝5.2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(A)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1设圆上任一点为A(x1，y1)，则x＋y＝4，PA连线中点的坐标为(x，y)，则即代入x＋y＝4，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.3．圆(x－1)2＋y2＝2关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程是(C)A．(x＋1)2＋(y－2)2＝B．(x－1)2＋(y＋2)2＝C．(x＋1)2＋(y－2)2＝2D．(x－1)2＋(y＋2)2＝2圆心(1,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点是(－1,2)，所以圆的方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝2.4．(2017·湖南长沙二模)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(A)A．1＋B．2C．1＋D．2＋2将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1.则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的最大值为d＋1＝＋1.5．(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得(x＋)2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.6．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆：x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为3＋2.由条件知直线过圆心(2,1)，所以2a＋2b－2＝0，即a＋b＝1.所以＋＝(＋)·(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时，等号成立．所以＋的最小值为3＋2.7．(2016·广东佛山六校联考)圆C过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，求圆C的方程．设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则k,2为x2＋Dx＋F＝0的两根，所以k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，又圆C过R(0,1)，故1＋E＋F＝0，所以E＝－2k－1.故所求圆方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，圆心坐标为(，)．因为圆C在P处的切线斜率为1，所以kCP＝－1＝，所以k＝－3.所以D＝1，E＝5，F＝－6.所以圆的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.8．过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分成两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(A)A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合题意．因为圆心O与P的连线的斜率为1，所以过点P垂直于OP的直线方程为x＋y－2＝0.9．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.10．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．(1)圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0整理得(x－3)2＋(y－3)2＝4.所以圆心C(3,3)，半径r＝2.设k＝，即kx－y＝0(x≠0)，则圆心到直线的距离d≤r，即≤2，整理得5k2－18k＋5≤0，解得≤k≤.故的最大值为，最小值为.(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，表示点P(x，y)到点A(－1,0)的距离的平方加上2，连接AC，交圆C于点B，延长AC，交圆C于D，则圆C上的点到A的距离中，AB最短，为|AC|－r＝－2＝3；AD最长，为|AC|＋r＝7，故x2＋y2＋2x＋3的最大值为72＋2＝51，最小值为32＋2＝11.
