课时作业(五十四)第54讲第3课时定点﹑定值﹑探索性问题基础热身1.(12分)[2017·岳阳一中月考]过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,当点A的纵坐标为1时,=2.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l的斜率为2,则抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB?并说明理由.2.(12分)[2017·重庆二诊]如图K54-2,已知A,B分别为椭圆C:+=1的左、右顶点,P为椭圆C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB的斜率分别记为k1,k2.(1)求k1·k2.(2)过坐标原点O作与直线PA,PB分别平行的两条射线,分别交椭圆C于点M,N,△MON的面积是否为定值?请说明理由.图K54-2能力提升3.(12分)[2017·遂宁三诊]已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,若点M(x0,1)在C上,且=.(1)求p的值;(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.4.(12分)[2017·长沙质检]已知P是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,P到直线x-y+4=0的距离为d1,P到E的准线的距离为d2,且d1+d2的最小值为3.(1)求抛物线E的方程;(2)直线l1:y=k1(x-1)交E于A,B两点,直线l2:y=k2(x-1)交E于C,D两点,线段AB,CD的中点分别为M,N,若k1k2=-2,直线MN的斜率为k,求证:直线l:kx-y-kk1-kk2=0恒过定点.5.(12分)[2017·哈尔滨二模]椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,点M为椭圆上一动点,△F1MF2内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,连接A1A,A1B并延长分别交直线x=4于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.难点突破6.(12分)[2017·孝义模拟]设椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为(-2,0),且椭圆C与直线y=x+3相切,(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(0,1)的动直线与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在常数λ,使得·+λ·=-7?请说明理由.第3课时1.解:(1)由抛物线的定义可得+1=2,解得p=2,故抛物线方程为x2=4y.(2)假设存在满足题设条件的点M(x0,y0),直线AB的方程为y=2x+1,代入x2=4y,可得x2-8x-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1x2=-4.因为=(x1-x0,y1-y0),=(x2-x0,y2-y0),所以由MA⊥MB可得(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0,即(x1-x0)(x2-x0)1+(x1+x0)(x2+x0)=0,即(x1+x0)(x2+x0)+16=0,所以+8x0+12=0,此时x0=-2或-6,所以存在点M(-2,1),M(-6,9)满足题设.2.解:(1)由题意知A(-2,0),B(2,0).设P(x0,y0),则k1k2=·===-.(2)由题知,直线OM:y=k1x,直线ON:y=k2x,设M(x1,y1),N(x2,y2),则△MON的面积S=||·||·sin∠NOM==|x1y2-x2y1|=|x1·k2x2-x2·k1x1|=|(k1-k2)x1x2|.由得=,同理可得=,故有4S2=(k1-k2)2··=,又k1k2=-,故4S2==8,∴△MON的面积为定值.3.解:(1)由抛物线的定义知=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p.又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.(2)证明:由(1)得M(1,1),C:y2=x,不妨设A在第一象限,当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,A(3,),B(3,-),则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=·=.设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y+1=k(x-3).联立得ky2-y-3k-1=0,所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.4.解:(1)抛物线E的焦点为F,0,由抛物线的定义可得d2=,则d1+d2=d1+,其最小值为点F到直线x-y+4=0的距离,∴=3,得p=4(舍去负值),∴抛物线E的方程为y2=8x.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得x2-(2+8)x+=0,则x1+x2=,∴y1+y2=k1(x1-1)+k1(x2-1)=k1(x1+x2)-2k1=-2k1==,∴AB的中点M的坐标为,.同理可得点N的坐标为,,则直线MN的斜率k==-,则k·(k1+k2)=-2,∴直线l的方程kx-y-kk1-kk2=0可化为y=kx-k(k1+k2),即y=kx+2,令x=0可得y=2,∴直线l恒过定点(0,2).5.解:(1)已知椭圆的离心率为,不妨设c=t,a=2t,则b=t,其中t>0,当△F1MF2内切圆的面积取得最大值时,半径r取得最大值为,因为=·(其中为△F1MF2的周长),为定值,所以也取得最大值,此时点P为短轴端点,因此·2c·b=·(2a+2c),即·2t·t=××(4t+2t),解得t=1,则椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知F2(1,0),设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(3t2+4...
