直线与抛物线的位置关系（时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－2B．－1C．2D．3[答案]C[解析]由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则＝4，即k＝2.2．抛物线y＝x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是()A．(2，－1)B．(1，－1)C．(，－)D．(，－)[答案]A[解析]y＝x2⇒x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则OA·OB的值是()A．12B．－12C．3D．－3[答案]D4．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在[答案]B[解析]由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有两条．5．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是()A．1B．2C.D．[答案]D[解析]如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2，又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.16．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|等于()A．9B．6C．4D．3[答案]B[解析]设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为FA＋FB＋FC＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线定义，有|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.二、填空题7．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2m时，量得水面宽8m，当水面升高1米后，水面宽度是________m.[答案]48．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值是__________________．[答案]29．已知P(4，2)是直线l被椭圆＋＝1截得线段的中点，则直线l的方程为________．解：线段两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.∵A，B在椭圆上，∴两式相减得＝－.∵x1≠x2，∴kAB＝＝－＝－.∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.故填x＋2y－8＝0.10．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若＝2，则直线l的斜率等于________．2解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)，联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由解得k∈(－1，0)∪(0，1)，x1＋x2＝－＝－2＋，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝，设Q(x0，y0)，则x0＝＝－1＋，y0＝＝，即Q，又F(1，0)，∴＝＝2，解得k＝±.故填±.三、解答题11．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O.[解析]因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(，0)，所以经过点F的直线AB的方程设为：x＝my＋代入抛物线方程得：y2－2pmy－p2＝0若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，所以点C的坐标为(－，y2)，故直线CO的斜率为：k＝＝＝，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点．12．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．[解析](1)如图所示，由消去x得，ky2＋y－k＝0.∴S△OAB＝·1·＝.3∵S△OAB＝，∴＝，解得k＝±.4
