高考达标检测（五十四）数系的扩充与复数的引入的命题3角度一、选择题1．(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝()A．－2iB．2iC．－2D．2解析：选A∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i.∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.2．(2018·沈阳质量监测)已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A因为＝1＋i，其在复平面内对应的点(1,1)在第一象限．3．已知复数z满足z＝＋a为纯虚数，则|z|＝()A.B．2C.D.解析：选C∵z＝＋a＝为纯虚数，∴＝0，≠0，解得a＝，∴z＝i，∴|z|＝.4．设复数z满足(1＋i)z＝－2i，i为虚数单位，则z＝()A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i解析：选Bz＝＝＝－i－1.5．已知i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝i，则|z|＝()A.B.C．1D.解析：选B∵z＝＝＝－＋i，∴|z|＝＝.6．(2018·遵义模拟)复数z＝4i2018－(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选Cz＝4i2018－＝4×i2016·i2－＝－4－＝－6－i，故z在复平面内对应的点在第三象限．7．已知复数z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()A．θ＝B．θ＝C．θ＝D．θ＝解析：选Cz＝(cosθ－isinθ)(1＋i)＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i.z是纯虚数等价于等价于θ＝＋kπ，k∈Z.故选C.8．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于()A.B.C．－D．－解析：选D因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－，故选D.二、填空题9．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．解析：由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.答案：－210．定义运算＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，为z的共轭复数，则＝________.解析：∵复数z满足＝zi－i＝1＋i，∴z＝＝＝2－i，∴＝2＋i.答案：2＋i11．(2017·江苏高考)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．解析：法一：复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，则|z|＝＝.法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝×＝.答案：12．(2018·山东实验中学诊断)在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的距离是________．解析：因为＝＝1＋i，所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x＋1的距离为＝.答案：三、解答题13．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).解：(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.14．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z·＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·＝3，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．解：∵z＝x＋yi(x，y∈R)且z·＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·＝3.∴x2＋y2＋(1－2i)(x＋yi)＋(1＋2i)(x－yi)＝3，即x2＋y2＋x＋2y＋yi－2xi＋x＋2y－yi＋2xi＝3，∴x2＋y2＋2x＋4y－3＝0，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(－1，－2)为圆心，以2为半径的圆．1．已知t∈R，若复数z＝(i为虚数单位)为纯虚数，则|＋ti|＝()A．2B．4C．6D．8解析：选A∵z＝＝＝＋i为纯虚数，∴＝0，≠0，解得t＝1.则|＋ti|＝|＋i|＝＝2.2．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足复数x＋yi的实部大于虚部的概率为________．解析：∵试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子，所得点数分别为x，y，得到复数x＋yi共有36个，满足条件的事件是复数x＋yi的实部大于虚部，当实部是2时，虚部是1；当实部是3时，虚部是1,2；当实部是4时，虚部是1,2,3；当实部是5时，虚部是1,2,3,4；当实部是6时，虚部是1,2,3,4,5，共有15个，故实部大于虚部的概率是＝.答案：
