高考达标检测（十八）三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用一、选择题1．(2016·全国丙卷)若tanθ＝－，则cos2θ＝()A．－B．－C.D.解析：选D∵cos2θ＝＝，又∵tanθ＝－，∴cos2θ＝＝.2．已知tan＝，且－＜α＜0，则等于()A．－B．－C．－D.解析：选A由tan＝＝，得tanα＝－.又－<α<0，所以sinα＝－.故＝＝2sinα＝－.3．(2017·温州测试)已知sinx＋cosx＝，则cos＝()A．－B.C．－D.解析：选B∵sinx＋cosx＝2＝2＝2cos＝，∴cos＝.4．(2017·东北三省模拟)已知sin＝cos，则cos2α＝()A．1B．－1C.D．0解析：选D∵sin＝cos，∴cosα－sinα＝cosα－sinα，即sinα＝－cosα，∴tanα＝＝－1，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.5．(2017·南宁调研)若θ∈[0，π]，cosθ＝，则tan＝()A.B.C．7D.解析：选D法一：因为θ∈[0，π]，所以∈，所以cos＝＝，所以sin＝，所以tan＝，故选D.法二：由题意得sinθ＝，所以tanθ＝.因为θ∈[0，π]，所以∈，所以由tanθ＝＝，解得tan＝或tan＝－(舍去)，故选D.6．(2017·吉林大学附中检测)若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为()A．－B．－C．－D．－解析：选D∵3cos2α＝sin，∴3(cos2α－sin2α)＝(sinα－cosα)，易知sinα≠cosα，故cosα＋sinα＝－，两边平方得1＋sin2α＝，解得sin2α＝－，故选D.7．(2017·贵阳监测)已知sin＋sinα＝，则sin的值是()A．－B.C.D．－解析：选Dsin＋sinα＝⇒sincosα＋cossinα＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sinα＋cosα＝，故sin＝sinαcos＋cosαsin＝－＝－.8．(2016·长沙模拟)在△ABC中，若(tanB＋tanC)＝tanB·tanC－1，则sin2A＝()A．－B.C．－D.解析：选D由两角和的正切公式知tanB＋tanC＝tan(B＋C)(1－tanB·tanC)，所以(tanB＋tanC)＝tanB·tanC－1＝tan(B＋C)(1－tanB·tanC)，所以tan(B＋C)＝－，所以tanA＝，又A∈(0，π)，所以A＝，所以sin2A＝，故选D.二、填空题9．化简：sin50°(1＋tan10°)＝________.解析：sin50°(1＋tan10°)＝sin50°＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝＝1.答案：110．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.解析：∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋sin，∴1＋sin＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.答案：111．(2017·东北三省四市联考)已知tan(3π－x)＝2，则＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x)＝－tanx＝2，即tanx＝－2，故＝＝＝－3.答案：－312．(2017·珠海六校联考)已知tan(α＋β)＝，tanβ＝，则tan的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝，tanβ＝，∴tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝＝，tan＝＝＝.答案：三、解答题13．已知函数f(x)＝sinx－cosx＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，向量a＝(2，cosα)，b＝，0＜α＜，且a·b＝.(1)求f(x)在区间上的最值；(2)求的值．解：(1)f(x)＝sinx－cosx＋2＝2sin＋2，∵x∈，∴x－∈，∴f(x)的最大值是4，最小值是2.(2)由题意知β＝2π，∴a·b＝2＋cosαtan(α＋π)＝2＋sinα＝，∴sinα＝，∴＝＝2cosα＝2＝.14．(2017·台州模拟)已知实数x0，x0＋是函数f(x)＝2cos2ωx＋sin(ω＞0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若f(A)＝且＋＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)f(x)＝1＋cos2ωx＋sin2ωx－cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋1＝sin＋1，由题意得T＝π，∴＝π，即ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin＋1，∴f(A)＝sin＋1＝，即sin＝.∵0＜A＜π，∴＜2A＋＜，∴2A＋＝，即A＝.由＋＝，得＋＝，所以cosB＋cosC＝2cosA＝1，又因为B＋C＝，所以cosB＋cos＝cosB－cosB＋sinB＝sin＝1，所以B＝C＝.综上，△ABC是等边三角形．
