3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题A级基础巩固一、选择题1．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝()A．5B．6C．7D．8解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由得所以A(－1，－1)．由得所以B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n，当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.答案：B2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A.B.C.D.解析：作出可行域如图所示．lo：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最大值为6.答案：A3．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为()A．1B.C．－D．－1解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个．1答案：A4．若实数x，y满足不等式组目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是()A．0B．1C．2D．3解析：作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t＝x－2y，得直线y＝x－t在点(2，)处取得最大值，即tmax＝2－2·＝4－a＝2，得a＝2.答案：C5．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是()A.B.C.D.解析：由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P(x0，y0)，使x0－2y0＝2成立，只需点A(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方即可，即－m－2m－2＞0，解得m＜－，故选C.答案：C二、填空题6．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t＝x＋2y，则y＝－x＋，当x＝0，y＝0时，tmin＝0，z＝3x＋2y的最小值为1.答案：17．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由得A(1，2)，所以|AO|2＝5.2答案：58．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z＝y－x.则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，n－m的最大值为3.答案：3三、解答题9．已知f(x)＝(3a－1)x＋b－a，x∈[0，1]，若f(x)≤1恒成立，求a＋b的最大值．解：因为f(x)≤1在[0，1]上恒成立，所以即将a，b对应为平面aOb上的点(a，b)，则其表示的平面区域如图所示，其中A，求a＋b的最大值转化为在约束条件下，目标函数z＝a＋b的最值的线性的规划问题，作直线a＋b＝0，并且平移使它通过可行域内的A点，此时z＝a＋b取得的最大值为.10．某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个．甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，那么z＝7x＋12y.作出以上不等式组的可行域，如下图所示．3目标函数为z＝7x＋12y，变为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一簇平行直线．由图可以得到，当直线经过可行域上点A时，截距最大，z最大．解方程组得点A坐标为(20，24)．所以zmax＝7×20＋12×24＝428(万元)．即生产甲、乙两种产品分别为20吨，24吨时，利润最大，最大值为428万元．B级能力提升1．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.D．2解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由解得所以z＝ax＋by在A(2，1)处取得最小值，故2a＋b＝2，a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝(a－4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－...
