高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理演练（含解析）新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理A级基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是()A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．答案：B2．已知＝2，＝3，＝4，….若＝6(a，b∈R)，则()A．a＝5，b＝24B．a＝6，b＝24C．a＝6，b＝35D．a＝5，b＝35解析：观察式子的特点可知，分式的分子a与根号外的数相同，而分母b则为a的平方减1.答案：C3．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则等于()A．4B.C．2D.解析：将已知式变形，则有＝＝＝tan＝tan，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝，可知只有当＝tan＝时，上式成立．答案：D4．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，(n2－1)[1－(－1)n]＝(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．答案：C5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n∈N*)个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn.1按此规律推断出Sn与n的关系式为()A．Sn＝2nB．Sn＝4nC．Sn＝2nD．Sn＝4n－4解析：由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推断第n个图案是这样构成的；各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为Sn＝4n－4.答案：D二、填空题6．已知x∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，…，类比有x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________．解析：由类比推理可得x＋＝＋…＋,\s\up6(,n个))＋≥(n＋1)·＝n＋1，此时a＝nn.答案：nn7．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________．解析：正三角形内切圆半径与外接圆半径之比为1∶2，故面积之比为1∶4，正四面体中，内切球半径与外接球半径之比为1∶3，故体积之比为1∶27.答案：8．观察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sinx)′＝cosx；③(ex－e－x)′＝ex＋e－x；④(xcosx)′＝cosx－xsinx.根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sinx为奇函数，f′(x)＝cosx为偶函数；对于③，p(x)＝ex－e－x为奇函数，p′(x)＝ex＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝xcosx为奇函数，q′(x)＝cosx－xsinx为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数．(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式．(3)求a10，并说明a10表示的实际意义．(4)已知an＝9900，问：an是数列第几项？解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，…，2(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，则an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1...