第1讲排列、组合与二项式定理计数原理、排列、组合问题1.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(A)(A)12种(B)10种(C)9种(D)8种解析:分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有=2(种)选派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有=6(种)选派方法.由分步乘法计数原理,不同选派方案共有2×6=12(种).2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有(D)(A)(B)(C)(D)解析:先把3个品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑,不能放在头尾,油画与国画有种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的方法有种.3.从6本不同的书中选出4本,分别发给4个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同分配方法有(C)(A)180(B)220(C)240(D)260解析:先从其他四本不同的书中选一本发给甲同学,有种;再从剩下的五本不同的书中选三本发给其他3个同学,有种;则不同分配方法有=240种.4.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)(A)243(B)252(C)261(D)279解析:由0,1,…,9十个数字共可组成三位数个数为=900,其中无重复数字的三位数有=648(个),则符合题意的三位数个数为900-648=252.故选B.5.如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有种(用数字作答).解析:从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法,D若与A颜色相同有1种涂色方法,否则有3种涂色方法.共有6×5×4×(1+3)=480种涂色方法.答案:4806.有4名优秀学生A,B,C,D全部被保送到甲,乙,丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有种.解析:先把4名学生分为2,1,1的3组,有=6种分法,再将这3组分配到3所学校,有=6种情况,则共有6×6=36种不同的保送方案.答案:367.在运动会百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.解析:分两步安排这8名运动员.第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.所以安排方式有=4×3×2=24种.第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有=5×4×3×2×1=120种.故安排这8人的方式有24×120=2880种.答案:2880二项式定理的应用8.在(x-)5的二项展开式中,x2的系数为(A)(A)40(B)-40(C)80(D)-80解析:(x-)5的展开式的通项为=x5-r(-)r=(-2)r,令5-=2,得r=2,故展开式中x2的系数是(-2)2=40,故选A.9.若二项式(x3-)n(n∈N*),展开式中含有常数项,则n的最小值为(A)(A)7(B)6(C)5(D)4解析:根据题意,得Tr+1=x3(n-r)(-)r=,令6n-7r=0,得n=,故n的最小值为7,故选A.10.已知关于x的二项式(+)n展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a的值为(C)(A)1(B)±1(C)2(D)±2解析:根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为32,则有2n=32,可得n=5,则二项式的展开式的通项公式为Tr+1=()5-r()r=ar令15-5r=0得r=3,由题意有a3=80,解可得a=2;故选C.11.在二项式(x2+)n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为(A)(A)32(B)-32(C)0(D)1解析:依题意得所有二项式系数的和为2n=32,解得n=5.因此,令x=1,则该二项展开式中的各项系数的和等于(12+)5=32,故选A.12.(2015皖南八校三联)(+)n的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大,则第四项为.解析:由已知条件第五项和第六项二项式系数最大,得n=9,(+)9展开式的第四项为T4=·()6·()3=.答案:13.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=.解析:令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,所以a0+a2+a4+…+a12=.令x=0,则a0=1,所以a2+a4+…+a12=-1=364.答案:36414.若(x2+ax+1)6(a>0)的展开式中x2的系数是66,则sinxdx的值为.解析:由题意可得(x2+ax+1)6的展开式中x2的系数为+a2故+a2=66,所以a=2或a=-2(舍去).故sinxdx=sinxdx=(-cosx)=1-cos2.答案:1-cos2一、选择题1.从8名女生和4名男生中,抽取3名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽...
