核心素养测评十八任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若sinα<0且tanα<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选D.由sinα<0,得α的终边在第三或第四象限或在y轴非正半轴上;由tanα<0,得α在第二或第四象限,所以α是第四象限角.2.sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为sin2>0,cos3<0,tan4>0,所以sin2cos3tan4<0.3.若角α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限【解析】选A.当k为偶数时,令k=2n,α=45°+n·360°,此时α为第一象限角,排除C,D;当k为奇数时,令k=2n+1,α=225°+n·360°,此时α是第三象限角,排除B;所以角α的终边落在第一或第三象限.4.已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数是()A.B.C.D.【解析】选B.l=|α|r,所以|α|===.5.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]【解析】选A.由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,所以解得-2
0),弧长为l,则由扇形面积公式可得2=lr=|α|r2=×4×r2,解得r=1,l=|α|r=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6.2.(5分)(2019·南昌模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2,-2cos2),则sinα等于()A.sin2B.-sin2C.cos2D.-cos2【解析】选D.因为r==2,由任意角的三角函数的定义,sinα==-cos2.3.(5分)函数y=的定义域为________.【解析】因为2sinx-1≥0,所以sinx≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示).所以x∈(k∈Z).答案:(k∈Z)4.(10分)已知角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边上有一点P(3a,4a),其中a≠0,求sinα,cosα,tanα.【解析】设r=|OP|==5|a|.①当a>0时,r=5a,所以sinα==,cosα==,tanα==;②当a<0时,r=-5a,所以sinα=-,cosα=-,tanα=.综上,sinα=,cosα=,tanα=,或sinα=-,cosα=-,tanα=.5.(10分)已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x.求sinα+的值.【解析】因为P(x,-)(x≠0),所以点P到原点的距离r=.又cosα=x,所以cosα==x.因为x≠0,所以x=±,r=2.当x=时,P点坐标为(,-),由三角函数的定义,sinα=-,=-,所以sinα+=--=-;当x=-时,同理可得sinα+=.【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O交于点A(x1,y1),α∈.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转,交单位圆于点B(x2,y2).(1)若x1=,求x2.(2)过A,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,记△AOC及△BOD的面积分别为S1,S2,且S1=S2,求tanα的值.【解析】(1)因为x1=,y1>0,所以y1==,sinα=,cosα=,所以x2=cos=cosαcos-sinαsin=-.(2)S1=sinαcosα=sin2α.因为α∈,所以α+∈,S2=-sincos=-sin=-cos2α.因为S1=S2,所以sin2α=-cos2α,即tan2α=-,所以=-,解得tanα=2或tanα=-.因为α∈,所以tanα=2.
