一平行线等分线段定理一、基础达标1.如图所示，已知BC＝acm，且AD∥EF∥BC，AE＝EO＝OC，则AD等于()A.acmB.2acmC.3acmD.cm解析∵EF∥AD，AE＝EO，∴F是OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2EF，又∵EF∥BC，EO＝OC，∴△OEF≌△OCB，∴EF＝BC，∴AD＝2a.答案B2.如图所示，在△ABC中，BD为AC边上的中线，DE∥AB交BC于E，则阴影部分面积为△ABC面积的()A.B.C.D.解析∵DE∥AB，D为AC的中点，∴E为BC的中点，∴S△BDE＝S△EDC.∴S△BDE＝S△BDC＝S△ABC.答案A3.如图所示，若a∥b∥c，那么下列结论中错误的是()A.由AB＝BC可得FG＝GHB.由AB＝BC可得OB＝OGC.由CE＝2CD可得CA＝2BCD.由GH＝FH可得CD＝DE解析∵OB，OG不是一条直线被一组平行线截得的线段，故不正确.答案B4.如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，若HC＝BH，则FC＝________BF.解析∵AH⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AH，又∵AE＝EB，∴BF＝FH，∴HC＝BH＝BF，∴FC＝FH＋HC＝BF.答案5.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中点，延长CM，交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB＝6cm，则AP＝________；若PM＝1cm，则PC＝________.解析由AD⊥BC，AB＝AC知BD＝CD，又DN∥CP，∴BN＝NP.又AM＝MD，PM∥DN，知AP＝PN，∴AP＝AB＝2(cm)，易知PM＝DN，DN＝PC，∴PC＝4PM＝4(cm).答案2cm4cm6.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证：AF＝BF.证明如图，延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的角平分线，AE⊥CD，1可证△AEC≌MEC，∴AE＝EM，又在△ABM中，EF∥BF，∴点F是AB的中点，∴AF＝BF.二、能力提升7.如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，点E，F分别是AD，AB的中点，且AC⊥BC，若AD＝5，EF＝6，则CF的长为()A.6.5B.6C.5D.4解析连接BD，∵点E，F分别是AD，AB的中点.∴EF綊BD，又∵EF＝6，∴BD＝12，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝12，BC＝AD＝5，又∵AC⊥BC，∴AB＝＝13，∵F是AB的中点，∴CF＝AB＝＝6.5.答案A8.某梯形的中位线长10cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3cm，则该梯形中的较大的底边等于________cm.解析由已知中位线被BD分成的较长的一部分GF＝，又∵EF∥BC，且F为DC的中点，∴G为BD的中点，∴在△DBC中，GF＝BC，∴较大的底边BC长为13.答案139.如图所示，AD∥EG∥FH∥BC，E，F三等分AB，G，H在DC上，AD＝4，BC＝13，则EG＝________，FH＝________.解析由梯形中位线定理知：2EG＝AD＋FH，2FH＝EG＋BC，又由已知AD＝4，BC＝13，∴可解得EG＝7，FH＝10.答案71010.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，AB＝BC，E为AB的中点.求证：△ECD为等边三角形.证明如图，连接AC，过点E作EF平行于AD交DC于点F.∵AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰).∵DC⊥BC，∴EF⊥DC.∴ED＝EC(线段垂直分线上的点到线段两端点的距离相等).∴△EDC为等腰三角形.∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB＝60°.又∵E是AB边的中点，∴CE平分∠ACB.∴∠FEC＝∠ECB＝30°.∴∠DEF＝30°.∴∠DEC＝60°.又∵ED＝EC，∴△ECD为等边三角形.11.如图所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，求BM与CG的长.解如图所示，取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，则PQ是梯形ADHE的中位线.∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴＝，＝，∴＝，∴BM2＝4.由于PQ为梯形ADHE的中位线，故PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.三、探究与创新12.有人玩折纸游戏，他先把一张矩形纸ABCD按如图(1)所示对折，设折痕为MN.如图(2)所示，再沿AE折叠矩形一部分，使B落在折痕MN上，AE与MN交于P，得到Rt△ABE，延长EB交AD于F，得到△AEF，他认为△AEF是一个等边三角形，他的观点是否正确？试说明理由.解他的观点是正确的.理由如下：由题意和题中图示可知N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，∴P为EA的中点.又∵△ABE为直角三角形，∴BP＝PA，∴∠PAB＝∠PBA.又∵PB∥AD，∴∠PBA＝∠BAF，∴∠PAB＝∠BAF.∵∠PAB与和它重合的角相等，∴2∠PAB＋∠BAF＝90°，即∠PAB＝∠BAF＝30°.∴∠AEB＝90°－30°＝60°，∠EAF＝∠PAB＋∠BAF＝60°.∴△AEF是等边三角形.3
