【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题7不等式51基本不等式的“基本功”理训练目标(1)熟练掌握基本不等式及应用方法；(2)会用基本不等式解决最值问题；(3)能将基本不等式与函数、数列、三角函数等知识结合，解决综合问题.训练题型(1)比较两数(式)的大小；(2)求最大(小)值；(3)求代数式、函数式值域；(4)求参数范围；(5)与其他知识交汇综合应用.解题策略(1)直接利用基本不等式(注意应用条件)；(2)将已知条件变形，以“和”或“积”为定值为目标，构造基本不等式“模型”(注意积累变形技巧，总结变形突破点).1．(2015·长沙一模)设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是________．2．(2015·湖南改编)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．3．(2015·北京东城区一模)已知b>0且a≠0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为________．4．(2015·大连期末)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为________．5．若a<1，则a＋有最____(填“大”或“小”)值，为_________________________．6．若实数x，y满足x2＋xy＋y2＝1，则x＋y的最大值为________．7．若a>b>0，则a2＋的最小值为________．8．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．9．若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sinπx(0
0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.3．2解析由两条直线垂直的充要条件可得，(－)·＝－1，解得a＝，所以ab＝·b＝＝b＋.因为b>0，所以b＋≥2＝2，当且仅当b＝，即b＝1时取“＝”．4．1解析由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1，知x>0，y>0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3()2＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，则＋的最大值为1.5．大－1解析 a<1，∴a－1<0，2∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.6.解析由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤，当且仅当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.7．4解析依题意得a－b>0，所以a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当即a＝，b＝时取等号，因此a2＋的最小值为4.8．a≤2解析x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立，⇔a≤x＋，x∈(0,1]恒成立． x∈(0,1]，x＋≥2，∴a≤2.9．3＋2解析画出y＝1＋sinπx(00，b>0，所以＋＝(＋)(a＋b)＝1＋＋＋2≥3＋2，当且仅当＝时取等号．即(＋)min＝3＋2.10．2解析 a，b是互相垂直的单位向量，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．由a·c＝b·c＝1，得x＝y＝1，即c＝(1,1)，∴c＋ta＋b＝(1,1)＋(t,0)＋(0，)＝(1＋t,1＋)，∴|c＋ta＋b|＝＝， t>0，∴t＋≥2，t2＋≥2，当且仅当t＝1时取等号，∴|c＋ta＋b|≥＝2，故|c＋ta＋b|的最小值为2.11．(2,4]解析设a＝2x，b＝2y，则a>0，b>0，由条件得a2＋b2＝2(a＋b)， (a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，当且仅当a＝b时取等号，∴(a＋b)2≤4(a＋b)，∴a＋b≤4，又(a＋b)2－2(a＋b)＝2ab>0，∴a＋b>2，∴2
