初中数学中点四边形的再探索探索：1.当四边形对角线互相垂直时，中点四边形为矩形；例1.如图1，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFCH为矩形，四边形ABCD应该具备的条件是（）A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线相互垂直D.对角线互相平分解：选C。（青岛2004年中考题）证明：连结BD， 点E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线。∴EH∥BD，，同理：GF∥BD，。∴EH∥GF，EH＝GF∴四边形EFGH是平行四边形。 AC⊥BD，AC∥EF，BD∥EH，∴EF⊥EH，即∠HEF＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形。2.当四边形对角线相等时，中点四边形为菱形；例2.如图2，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由。（深圳南山区2004中考题）解：添加的条件：对角线相等理由：连结AC、BD， 在△ABC中，AE＝BE，BF＝CF，∴EF为△ABC的中位线∴。同理可得又 AC＝BD（添加条件），∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形。说明：若添加的条件：对角线互相垂直，那么四边形为矩形；若添加的条件：对角线互相垂直且相等，则四边形为正方形。例3.如图3，四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，且AC⊥BD。顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形；再顺次连结四边形各边中点，得到四边形……如此进行下去得到四边形。（贵阳实验区2004中考题）（1）证明：四边形是矩形；（2）写出四边形和四边形的面积；（3）写出四边形的面积；（4）求四边形的周长。（1）证明： 点、分别是AB、AD的中点，∴是△ABD的中位线∴，同理：∴∴四边形是平行四边形。 AC⊥BD，，∴，即。∴平行四边形是矩形（2）连结AC， 顺次连结四边形ABCD的各边中点得到四边形∴则同理可得：，∴四边形的面积四边形ABCD的面积∴四边形的面积四边形的面积；（3）依次类推得：四边形的面积为；（4）由（1）得矩形的长为4，宽为3； 矩形~矩形；∴可设矩形的长为4x，宽为3x，则解得∴矩形的周长说明：有关相似多边形的知识将在今后学习。对例3的再探索：（1）①当n为奇数次时，四边形的形状是矩形；②当为偶数次时，四边形的形状是菱形。（2）四边形的面积为原四边形ABCD的面积；由例3得矩形的长为4，宽为3；矩形的周长 矩形~矩形；∴可设矩形的长为4x，宽为3x，则解得：；∴矩形的长，宽∴矩形的周长由上可知：矩形的周长同理可得：矩形的周长矩形的周长……因此得：（3）当n为奇数次时，四边形的形状是矩形；其周长的周长因矩形的长为4，宽为3，由勾股定理得对角线∴菱形的边长则菱形的周长由矩形的长为2，宽为，那么由勾股定理得对角线∴菱形的边长则菱形的周长菱形的周长菱形的周长……②∴当n为偶数次时，四边形的形状是菱形；其周长的周长例4.O点是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G依次连结起来，设DEFG能构成四边形。（1）如图当O点在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形。（2）当O点移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由。（3）若四边形DEFG为矩形，则O点所在位置应满足什么条件，试说明理由。证明：（1）（2）略，请同学们根据右图自己写出证明过程。（3）若四边形DEFG为矩形，则O点所在位置应在过A点且垂直BC的直线上（A点除外）。理由：如图过A点作BC的垂线MN交BC于K点。设O点是MN上任意一点（A点除外），连结OB、OC，由（1）得四边形DEFG是平行四边形。在△ABO中，DE∥OA，在△ABC中，DG∥BC，AK⊥BC∴DE⊥DG，即∠EDG＝90°∴平行四边形DEFG是矩形。例5.在四边形ABCD中，E为边AB上一点，△ADE和△BCE是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，求证：四边形PQMN为菱形。证明：连结AC、BD。 △DAE和△CEB是等边三角形∴△AEC≌△DEB（SAS）∴AC＝BD又 P、Q、M、N是四边形各边中点∴（三角形中位线定理）∴PQ＝QM＝MN＝NP，∴四边形PQMN为菱形。例6.如果等腰梯形的两条对角线垂直，那么它的中位线的长和高相等已知：在等腰梯形ABCD中，MN是中位线，AE⊥BC。求证：MN＝AE证明：取BC、AD的中点G、H，连结MG、GN、NH、HM∴（三角形的中位线定理）∴四边形MGNH是平...
