1/5第二十三讲以几何为主的综合题一、选择题1.如图23-1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,分别以A、C为圆心,以2AC的长为半径作圆,将Rt△ABC截去两个扇形,则剩余(阴影)部分的面积为().图23-1A.2cm)π42524(B.2πcm425C.2cm)π4524(D.2cm)π62524(2.(2009广州)如图23-2,在□ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,若24BG,则△CEF的周长为().图23-2A.8B.9.5C.10D.11.5二、填空题3.(2009深圳)如图23-3,矩形ABCD中,由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置,则矩形ABCD的周长为______.图23-34.(2009深圳)如图23-4,图①是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF折叠成图②,再沿BF折叠成图③,则图③中的∠CFE的度数是_______.①②③图23-42/5三、解答题5.已知:如图23-5,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,CD⊥AB于D,CE切⊙O于C,AE⊥CE,AE的延长线与BC的延长线交于F点,若32cos,53FCD,求EF的长.图23-56.如图23-6,在□ABCD中,P是CD边上的一点,AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA.图23-6(1)判断△APB是什么三角形,证明你的结论;(2)比较DP与PC的大小;(3)画出以AB为直径的⊙O,交AD于点E,连结BE与AP交于点F,若AD=5cm,AP=8cm,求证△AEF∽△APB,并求tan∠AFE的值.7.(2009烟台)如图23-7,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,且CD=2AD,tan∠ABC=2,过点D作DE∥AB,交∠BCD的平分线于点E,连结BE.图23-7(1)求证:BC=CD;(2)将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG,连结EG.求证:CD垂直平分EG;(3)延长BE交CD于点P.求证:P是CD的中点.3/58.(2009武汉)如图23-8①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连结BO交AD于F,OE⊥OB交BC边于点E.图23-8(1)求证:△ABF∽△COE;(2)当O为AC边中点,2ABAC时,如图23-8②,求OEOF的值;(3)当O为AC边中点,nABAC时,请直接写出OEOF的值.4/5参考答案第二十三讲以几何为主的综合题1.A.2.A.3..584.120°.5.提示:由于CD与∠F不在同一个三角形中,所以需要寻找与∠F相等的角,或与CD相等的线段,使分散的条件集中在同一个三角形中,创造可解的直角三角形,使问题得到解决.简解:连结AC、OC.∵EG是⊙O的切线,∴OC⊥EG.∵EC⊥AE,∴AF∥OC.可得△BOC∽△BAF.21BABOBFBC.∴FC=BC.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴AF=AB,∠FAC=∠BAC.∴CE⊥AF于E,CD⊥AB于D,.53CDCE在Rt△FEC中,∵cosF=32,∴FCFE=32.设FE=2x,FC=3x,则.535xEC∴x=3,FE=2x=6.6.解:(1)见答图23-1.∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.答图23-1又∵AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA,∴∠PAB+∠PBA=90°.∴∠APB=90°.∴△APB为直角三角形.(2)∵DC∥AB,∴∠BAP=∠DPA.∵∠DAP=∠PAB,∴∠DAP=∠DPA.∴DA=DP.同理证得CP=CB.∴DP=PC.(3)∵AD=5cm,AP=8cm,∴AB=DC=DP+PC=2AD=10.∵AB是⊙O的直径,∠APB=90°,.68102222APABPB∵点E在⊙O上,∴∠AEB=90°=∠APB.∵∠EAF=∠PAB,∴△AEF∽△APB.∴∠AFE=∠ABP.3468tantanPBAPABPAFE7.证明:(1)延长DE交BC于F.(见答图23-2)答图23-25/5∵AD∥BC,AB∥DF,∴AD=BF,∠ABC=∠DFC.在Rt△DCF中,∵tan∠DFC=tan∠ABC=2,2CFCD,即CD=2CF.∵CD=2AD=2BF,∴BF=CF.∴BC=BF+CF=2BF=CD.(2)∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE.由(1)知BC=CD,∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE.∴BE=DE.由图形旋转的性质知CE=CG,BE=DG.∴DE=DG.∴C、D都在EG的垂直平分线上.∴CD垂直平分EG.(3)连结BD.由(2)可得∠PBC=∠FDC.∵BC=DC,∠BCP=∠DCF=90°,∴△BCP≌△DCF.∴CP=CF.∵CF=21BC=21CD,∴CP=21CD,即P为CD的中点.8.解(1)∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAF=∠C.∵OE⊥OB,∴∠BOA+∠COE=90°.∵∠BOA+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠COE.∴△ABF∽△COE.(2)作OG⊥AC,交AD延长线于G(见答图23-3).答图23-3∵AC=2AB,O是AC边的中点,∴AB=OC=OA.由(1)有△ABF∽△COE.1OCABOEBF.∴BF=OE.∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAB+∠ABD=90°,∴∠DAC=∠ABD.又∠BAC=∠AOG=90°,AB=OA.∴△ABC≌△OAG,∴OG=AC=2AB.∵OG⊥OA,∴AB∥OG.∴△ABF∽△GOF..2,ABOGBFOFOEOFABOGBFOF(3).nOEOF