1/5第二十三讲以几何为主的综合题一、选择题1．如图23－1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，分别以A、C为圆心，以2AC的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余(阴影)部分的面积为()．图23－1A．2cm)π42524(B．2πcm425C．2cm)π4524(D．2cm)π62524(2．(2009广州)如图23－2，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若24BG，则△CEF的周长为()．图23－2A．8B．9.5C．10D．11.5二、填空题3．(2009深圳)如图23－3，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为______．图23－34．(2009深圳)如图23－4，图①是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是_______．①②③图23－42/5三、解答题5．已知：如图23－5，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD⊥AB于D，CE切⊙O于C，AE⊥CE，AE的延长线与BC的延长线交于F点，若32cos,53FCD，求EF的长．图23－56．如图23－6，在□ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA．图23－6(1)判断△APB是什么三角形，证明你的结论；(2)比较DP与PC的大小；(3)画出以AB为直径的⊙O，交AD于点E，连结BE与AP交于点F，若AD＝5cm，AP＝8cm，求证△AEF∽△APB，并求tan∠AFE的值．7．(2009烟台)如图23－7，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，且CD＝2AD，tan∠ABC＝2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连结BE．图23－7(1)求证：BC＝CD；(2)将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG，连结EG．求证：CD垂直平分EG；(3)延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．3/58．(2009武汉)如图23－8①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连结BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．图23－8(1)求证：△ABF∽△COE；(2)当O为AC边中点，2ABAC时，如图23－8②，求OEOF的值；(3)当O为AC边中点，nABAC时，请直接写出OEOF的值．4/5参考答案第二十三讲以几何为主的综合题1．A．2．A．3．.584．120°．5．提示：由于CD与∠F不在同一个三角形中，所以需要寻找与∠F相等的角，或与CD相等的线段，使分散的条件集中在同一个三角形中，创造可解的直角三角形，使问题得到解决．简解：连结AC、OC．∵EG是⊙O的切线，∴OC⊥EG．∵EC⊥AE，∴AF∥OC．可得△BOC∽△BAF．21BABOBFBC．∴FC＝BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴AF＝AB，∠FAC＝∠BAC．∴CE⊥AF于E，CD⊥AB于D，.53CDCE在Rt△FEC中，∵cosF＝32，∴FCFE＝32．设FE＝2x，FC＝3x，则.535xEC∴x＝3，FE＝2x＝6．6．解：(1)见答图23－1．∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°．答图23－1又∵AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠PAB＋∠PBA＝90°．∴∠APB＝90°．∴△APB为直角三角形．(2)∵DC∥AB，∴∠BAP＝∠DPA．∵∠DAP＝∠PAB，∴∠DAP＝∠DPA．∴DA＝DP．同理证得CP＝CB．∴DP＝PC．(3)∵AD＝5cm，AP＝8cm，∴AB＝DC＝DP＋PC＝2AD＝10．∵AB是⊙O的直径，∠APB＝90°，.68102222APABPB∵点E在⊙O上，∴∠AEB＝90°＝∠APB．∵∠EAF＝∠PAB，∴△AEF∽△APB．∴∠AFE＝∠ABP．3468tantanPBAPABPAFE7．证明：(1)延长DE交BC于F．(见答图23－2)答图23－25/5∵AD∥BC，AB∥DF，∴AD＝BF，∠ABC＝∠DFC．在Rt△DCF中，∵tan∠DFC＝tan∠ABC＝2，2CFCD，即CD＝2CF．∵CD＝2AD＝2BF，∴BF＝CF．∴BC＝BF＋CF＝2BF＝CD．(2)∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE．由(1)知BC＝CD，∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE．∴BE＝DE．由图形旋转的性质知CE＝CG，BE＝DG．∴DE＝DG．∴C、D都在EG的垂直平分线上．∴CD垂直平分EG．(3)连结BD．由(2)可得∠PBC＝∠FDC．∵BC＝DC，∠BCP＝∠DCF＝90°，∴△BCP≌△DCF．∴CP＝CF．∵CF＝21BC＝21CD，∴CP＝21CD，即P为CD的中点．8．解(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠C．∵OE⊥OB，∴∠BOA＋∠COE＝90°．∵∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE．∴△ABF∽△COE．(2)作OG⊥AC，交AD延长线于G(见答图23－3)．答图23－3∵AC＝2AB，O是AC边的中点，∴AB＝OC＝OA．由(1)有△ABF∽△COE．1OCABOEBF．∴BF＝OE．∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAB＋∠ABD＝90°，∴∠DAC＝∠ABD．又∠BAC＝∠AOG＝90°，AB＝OA．∴△ABC≌△OAG，∴OG＝AC＝2AB．∵OG⊥OA，∴AB∥OG．∴△ABF∽△GOF．.2,ABOGBFOFOEOFABOGBFOF(3).nOEOF
