初中数学怎样证明两线段相等学法指导学法指导 试题VIP专享VIP免费

初中数学怎样证明两线段相等求证两线段相等是平面几何中的重要题型，其证明方法较多。为帮助初三学生掌握一些常见的证法，本文在《几何》第二、三册知识范围内，归类总结若干方法如下，供初三学生复习时参考。一、利用全等三角形的对应边相等证明例1、如图1，已知C在BD上，△ABC与△CDE都是等边三角形，BE、AD分别与AC、CE交于P、Q。求证：CP=CQ。证明：因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以在△ACD与△BCE中，AC=BC，CD=CE。因为∠1=∠2=60°，所以∠ACD=∠BCE=60°+∠3=120°，所以△ACD≌△BCE（SAS），所以∠4=∠5。在△ACQ与△BCP中，AC=BC，∠4=∠5，又知∠3=60°=∠1，所以△ACQ≌△BCP（ASA），所以CP=CQ。二、利用等腰三角形定理及逆定理证明例2、如图2，已知：在△ABC中，AB=AC，在AB、AC上的线段AD=AE。求证：FB=FC，FE=FD。证明：在△ABC中，因为AB=AC，AD=AE，所以DB=EC。在△EBC与△DCB中，因为DB=EC，BC=BC，又∠ABC=∠ACB（等腰三角形的底角相等），所以△EBC≌△DCB（SAS），所以BE=CD，∠EBC=∠DCB，所以△FBC是等腰三角形，所以FB=FC，故，即FE=FD。三、利用等腰三角形“三线合一”定理证明例3、如图3，已知△ABC为Rt△，D为斜边AB的中点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。求证：AE=CE，BF=CF。证明：因为D是Rt△ABC的斜边AB的中点，所以连CD后，则AD=CD=BD。所以△CDA与△CDB均为等腰三角形，另外DE⊥AC，DF⊥BC，所以AE=CE，BF=CF。（等腰三角形底边上的高平分底边）。四、利用角平分线上的点到这个角两边等距离证明例4、如图4，已知：△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，∠B、∠C的平分线交于I，求证：I到AB、BC、CA的距离相等。证明：因为AB=AC，AD是BC边的中线，所以AD平分∠BAC且AD⊥BC，而∠B、∠C的平分线交于I，所以AD过I点，即I是△ABC的内心，作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，故ID=IE=IF。所以I到AB、BC、CA的距离相等。五、利用垂直平分线上的点到该线段两端等距离证明例5、如图5，已知：△ABC中，∠A=90°，D为△ABC内一点，且AB=AC=BD，∠ABD=30°。求证：AD=DC。证明：作AG⊥BD于G，作DH⊥AC于H，因为∠ABD=30°，所以在Rt△AGB中，。又∠DAG=∠DAB－∠GAB=75°－60°=15°，且∠DAC=90°－75°=15°，而AD=AD，所以Rt△AGD≌Rt△AHD（AAS），所以，因为DH为AC的垂直平分线，所以AD=DC。六、利用两三角形面积相等，等底必等高，等高必等底证明例6、求证：等腰三角形两腰上的高相等。证明：如图6，在等腰△ABC中，作BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，因为S△ABC=·AC=·AB，而AB=AC，所以BD=CE，命题得证。七、利用等量公理：证明它们等于同一线段或分别等于两条相等线段例7、如图7，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，延长AB到E，BE=BD，连结ED并延长交AC于F。求证：AF=FC。证明：因为BE=BD，所以∠E=∠1，而∠ABC=∠E+∠1=2∠E，又∠ABC=2∠C，所以∠C=∠E。因为∠1=∠2，所以∠2=∠C，所以FC=FD。另外，∠2+∠3=∠C+∠4=90°，所以∠3=∠4，所以FD=AF，故AF=FC。八、利用中心对称证明例8、如图8，已知AT为△ABC的内角平分线，M为BC中点，ME∥AT，交AB、AC或其延长线于D、E，求证：BD=CE。证明：以M为对称中心，则B、C互为对称点，取D关于M的对称点R，连CR，则CR∥BD，且相等，所以∠R=∠3=∠2=∠1=∠E，所以CE=CR=BD。九、利用勾股定理证明例9、如图9，已知：M为△ABC内一点，MD、ME、MF分别和BC、CA、AB垂直，BF=BD，CD=CE。求证：AE=AF。证明：根据勾股定理及题设可知：。同理可证：，所以，所以AE=AF。十、利用比例证明例10、如图10，已知△ABC中，中线BE与角平分线AD交于点K，BL∥KC，交AC的延长线于点L，求证：LC=AB。证明：因为BL∥KC，所以，①因为AD平分∠BAC，所以，②所以由①、②得。又因为CE=AE，所以LC=AB。十一、利用圆幂定理证明例11、如图11，已知：PA是圆O的切线，A为切点，PBD是圆O的割线，弦DE∥AP，PE的延长线交圆O于C，CB的延长线交PA于F。求证：PF=FA。证明：因为DE∥AP，所以∠APD=∠D=∠C，所以FP是圆PBC的切线（弦切角定理的逆定理），所以FP2=FB·FC（切割线定理）。又FA2=FB·FC（切割线定理），所以FP2=FA2，所以PF=FA。十二、利用平行...