北京师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上）1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则()A．B．C．D．3．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为()A．B．C．D．4．计算定积分()A．1B．e-1C．eD．e+15．下面为函数的递增区间的是()A．B．C．D．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线被圆C截得的弦长为()A．B．C．D．7．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为()A．B．C．D．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若,，，则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．c>b>a二、填空题（每小题5分，共30分）9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．11．如图，圆内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_____________．12．设曲线过点(0，0)的切线与曲线上点P处的切线垂直，则P的坐标为____________．13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。14．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，如果，使得，则称为区间[a,b]上的“中值点”．下列函数：①；②；③；④中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为_________．（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．己知函数．(I)求函数f(x)的极值：(II)求函数f(x)在[0，2]上的最大值；16．设F为抛物线的焦点，A、B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．(I)若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求线段AB的长度|AB|；(II)当OA⊥OB时，求证：直线AB经过定点M(4，0)．17．已知函数，k∈R．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)当k>0时，若函数f(x)在区间(1，2)内单调递减，求k的取值范围．18．已知椭圆，点P(2，0)．(I)求椭圆C的短轴长与离心率；(II)过(1，0)的直线l与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．19．已知函数(I)求函数在点(1，0)处的切线方程；(II)设实数k使得f(x)0，且,所以．（II）因为A，B是抛物线C上的两点，所以设，由OA⊥OB，得，所以．由，知，即直线AB经过定点M（4,0）．17．解：（I）函数的定义域为．（1）当时，令，解得，此时函数为单调递增函数；令，解得，此时函数为单调递减函数．（2）当时，①当，即时，令，解得或，此时函数为单调递增函数；令，解得，此时函数为单调递减函数．②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；③当，即时，令，解得或，此时函数为单调递增函数...
