第11章一元二次方程11.1一元二次方程及解法11.1.1若方程(1996x)2-1995·1997x-1=0较大根为m,方程x2+1995x-1996=0的较小根为n,则m-n等于()(A)1997(B)1996(C)(D)11.1.2对任意两个实数a、b,用max(a,b)表示其中较大的数,则方程xmax(x,-x)=2x+1的解是()(A)1,1+(B)1,1-(C)-1,1+(D)-1,1-11.1.3已知方程(x-19)(x-97)=p有实数根r1和r2(其中p为实数),则方程(x-r1)(x-r2)=-p的最小实数根是()(A)-19(B)-97(C)19(D)9711.1.4已知a是方程x2+x-=0的根,则的值是________.11.1.5已知关于x的方程3x2+2ax-a2=0的一个根为1,则另一个根是________.11.1.6已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0,其中a、b是不超过10的质数,且a>b,那么两根之和超过3的方程是________.11.1.7已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根和为S1,两根平方和为S2,两根立方和为S3,则aS3+bS2+cS1的值是________.11.1.8把关于x的一元二次方程x2+px+q=0的系数p及q每次加1,这样的步骤重复四次,使得五个方程都具有整数根.请举出这样的实例.11.1.9小杰和小丁依下列规则玩游戏.首先,小杰写下一个二次方程式ax2+bx+c=0,其中a、b、c都是正整数.接着,小丁可以随意地将这个方程式中的0个、1个或2个“+”号改为“-”号.若改变后的方程式有两个整数根,则小杰获胜;若改变后的方程式没有实数根或至少有一个根不是整数,则小丁获胜.请问:小杰有没有必胜的策略?11.1.10下面的等式成立:x1x2=x2x3=x3x4=…=x99x100=x100x101=x101x1=1,求x1,x2,…,x100,x101的值.11.2一元二次方程的根的判别式11.2.1设b取2~16的奇数,c取任意正整数,则可以组成有两个不等实根的一元二次方程3x2+(b+1)x+c=0的个数为()(A)64(B)66(C)107(D)无穷多个11.2.2设二次方程x2+2px+2q=0有实数根,其中p、q都是奇数.那么,它的根一定是()(A)奇数(B)偶数(C)分数(D)无理数11.2.3把三个非0实数a、b、c按任意的次序分别填入□x2+□x+□=0的三个方框中,所得的方程的根均为有理数,这样的实数a、b、c()(A)不存在(B)有一组(C)有两组(D)有,多于两组11.2.4若方程x2+ax+2b=0有相等两实数根,x2+2bx+a=0也有相等两实数根,且a≠b,则ab=________.11.2.5求证:对于正数a、b、c,如果方程c2x2+(a2-b2-c2)x+b2=0没有实数根那么,以a、b、c为长的线段能够组成一个(面积不为0的)三角形.11.2.6已知实数a、b、c、R、P满足条件PR>1,Pc-2b+Ra=0,求证:一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根.11.2.7设a、b为实数,已知方程x2-(a+b)x+=0有两个实数根,求a、b的取值范围.11.3一元二次方程根与系数的关系11.3.1已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实数根的平方和为,则a的值为()(A)-11或3(B)-11(C)3(D)511.3.2如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是()(A)0≤m≤1(B)m≥(C)<m≤1(D)≤m≤111.3.3已知a、b是方程x2+(m-2)x+1=0的两个根,则(1+ma+a2)·(1+mb+b2)的值为()(A)1(B)2(C)3(D)411.3.4已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根,则α4+3β=________.11.3.5设方程x2+px+q=0的两根分别比方程x2+2qx+p=0的两根大1,求这两个方程的根.11.3.6设x2-px+q=0的两实数根为α、β.(1)求以α3、β3为根的一元二次方程.(2)若以α3、β3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有这样的一元二次方程.11.3.7设方程a1x2+b2x+c1=0(a1≠0)的根为1-a1、1+a1,方程a1x2+b1x+c2=0的根为-1、1-,又设方程a1x2+b1x+c1=0的两根相等,求a1、b1、c1的值.11.3.8甲、乙、丙、丁四人分别按下面的要求做一个解为x1、x2的一元二次方程x2+px+q=0.甲:p、q、x1、x2都取被3除余1的整数.乙:p、q、x1、x2都取被3除余2的整数.丙:p、q取被3除余1的整数,x1、x2取被3除余2的整数.丁:p、q...