９．２概率帮你做估计学习目标导航１．理解事件发生的频率与概率之间的关系．２．理解概率与统计之间的联系．３．利用概率解决一些简单的问题．教材知识详析要点１利用实验的方法进行概率估算(１)利用实验的方法进行频率估计机会的大小,必须要求实验是在相同条件下进行的;(２)当实验次数非常大时,实验频率可作为事件发生的概率的估计值．随机事件在每次实验中发生与否并不确定,因此,不同实验得到的数据完全相同的可能性很小,但大数次实验后表现出的趋势是一致的．例１在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共４０只,小颖做摸球实验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程,下表是实验中的一组统计数据:摸球的次数n１００２００３００５００８００１０００３０００摸到白球的次数m６５１２４１７８３０２４８１５９９１８０３摸到白球的频率mn０．６５０．６２０．５９３０．６０４０．６０１０．５９９０．６０１(１)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近;(精确到０．１)(２)假如你摸一次,你摸到白球的概率P(白球)＝;(３)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只?精析:在现实生活中,能够直接计算概率的事件极为有限,多数情况下要进行观察和实验,其中应注意两点:(１)实验实际是用频率来估计概率,实验次数越多,频率越接近概率;(２)必须在相同的条件下,用简单易行的实验来代替不容易实现的实验操作或不可能实际操作的实验．解答:(１)０．６;(２)０．６;(３)４０×０．６＝２４,４０－２４＝１６．故盒子里黑、白两种颜色的球分别约有１６只和２４只．要点２估算袋中的小球个数问题例２袋中有除颜色外其余完全相同的红色、黄色、蓝色、白色球若干个,小明又放入５个黑球．他通过多次的摸球实验后,发现摸到红色、黄色、白色及黑色球的频率分别为２５％,３０％,１０％,５％．试估计袋中红色、黄色、蓝色及白色球的个数．精析:为了估计出袋中红色、黄色、蓝色及白色球的个数,我们需要先估计出袋中现有的球数,因为袋中原来并无黑球,而放入黑球后,摸出黑球的概率为５％,我们可利用“样本容量＝频数频率”这一统计知识来估计出袋中现有的球数,从而估计出袋中红色、黄色、蓝色及白色球的个数．解答:小明放入５个黑球后摸出黑球的频率为５％,由此可估计出此时袋中共有球５÷５％＝１００(个)．因为此时袋中可能有１００个球(包括５个黑球),所以红色球有１００×２５％＝２５(个),黄色球有１００×３０％＝３０(个),白色球有１００×１０％＝１０(个),蓝色球有１００×(１－２５％－３０％－１０％－５％)＝３０(个)．解答这类问题的关键在于根据问题的背景,列出随机试验的所有等可能的结果和某一事件发生的所有可能出现的结果．拉分典例探究综合应用按要求设计游戏的概率模型,以及结合具体实际问题,体会概率与统计之间的关系,可以解决一些实际问题．例１(要点１)小红和小明在操场上做游戏,他们先在地上画了半径分别为２m和３m的同心圆(如图９．２Ｇ１(１)所示)．他们蒙上眼睛在一定距离外向圈内掷小石子,掷中阴影小红胜,否则小明胜,未掷入圈内不算,你来当裁判．(１)你认为游戏公平吗,为什么?(２)游戏结束,小明边走边想:“反过来,能否用频率估计概率的方法来估算非规则图形的面积呢?”请你设计方案,解决这一问题．(要求画出图形,说明设计步骤、原理,写出公式)９．２Ｇ１(１)精析:判断一个游戏是否公平,必须通过计算其概率是否相等:若相等,则游戏公平;若不相等,则游戏不公平．解答:(１)不公平． P(阴影)＝９π－４π９π＝５９,即小红获胜的概率为５９,小明获胜的概率为４９,∴此游戏不公平．(２)能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积．设计方案:①设计一个可测量面积的规则图形,将非规则图形围起来(如矩形,其面积为S),如图９．２Ｇ１(２)所示;９．２Ｇ１(２)②往图形中掷点(如蒙上眼睛往图形中随意掷石子,掷在图外不作记录);③当掷点次数充分大,记录并统计结果,设掷入矩形内m次,其中有n次掷在非规则图形内;④设非规则图形的面积为S１,用频率估计概率,即频率P(掷入非规则图形内)＝nm≈概率P(掷入非规则图形内)＝S...
