第一章证明（二）『本章知识要点』1.有关全等三角形的公理与定理：公理：三边对应相等的两个三角形全等(SSS)．公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)．公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)．公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等．推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，2．有关等腰三角形的定理：定理：等腰三角形的两个底角相等.椎论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.3．有关直角三角形的定理：定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)．4．有关线段的垂直平分线的定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．定理：三角形三条边的垂直平分线相交于—点，并且这一点到三个顶点的距离相等.5.有关角平分线的定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等6．反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论—定成立．这种证明方法称为反证法.7．互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另—个命题的结论和条件，那么这两个命后称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．图1-28.互逆定理：如果一个命题的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．『最新中考试题解析』例1.（2006·南充）已知：如图1-1，OA平分求证：△ABC是等腰三角形．分析：要证明一个三角形是等腰三角形，有两种方法：一是证明两边相等；二是证明两内角相等。本题我们无法直接证明AB=AC或∠ABC=∠ACB，由于已知∠1=∠2，因此我们可以通过证明∠ABO=∠ACO来证得∠ABC=∠ACB。由OA平分∠BAC可知，如果从O点作AB、AC的垂线段OE、OF，则OE=OF，然后就可以证得△OBE≌△OCF，从而证得∠ABO=∠ACO，这样问题得证。证明：如图1-2，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。∴OE=OF。 ∠1=∠2，∴OB=OC，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），∴∠5=∠6。∴∠1+∠5=∠2+∠6，即∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．例2.（2006·常德）如图1-3，是等边三角形内的一点，连结，以为边作，且，连结．图1-1（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若，连结，试判断的形状，并说明理由．分析：由△ABC为等边三角形可知∠ABC=60°，又因为，所以∠ABP=∠CBQ，由此可得△ABP≌△CBQ，所以AP=CQ；当时，若设PA=3a，则PB=4a，PC=5a，由（1）可知CQ=PA=3a，PQ=PB=4a，PC=5a，由此可判断为直角三角形。解：（1）猜想：。证明：在与中，，，，，。。（2）由，可设，，。连结，在中，由于，且，为正三角形，。图1-3QCPAB于是在中，，是直角三角形。『适时跟踪练习』一．选择题1．（2006·泸州）一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对2．（2006·南充）等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）A.8B.10C.8或10D.不能确定二．填空题3．（2006·台州）正三角形的每一个内角都是__________度．4．（2006·南平）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是．5．（2006·遂宁）如图1-4，在梯形ABCD中,∠DCB=900;AB∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠,点A恰好与点D重合,BE为折痕,那么AD的长度为_________.7．（2006·嘉兴）如图1-6，矩形纸片ABCD，AB＝2，∠ADB＝30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E...
