初三数学圆周角及圆内接四边形知识精讲一.本周教学内容：圆周角及圆内接四边形［学习目标］1.圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都和圆相交，二者缺一不可。2.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。定理的证明要分类，因为一条弧所对的圆心角唯一，而它所对的圆周角却有无数个，这无数个圆周角与圆心位置有三种：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角外部。3.圆内角角的顶点在圆内的角叫圆内角。圆内角的度数等于它所对弧与它对顶角所对弧的度数之和的一半。如下图圆内角∠3的度数为∠1＋∠2，∠1的度数是的一半，∠2的度数是的一半。4.圆外角角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角，叫圆外角。圆外角的度数等于它所截两条弧度数之差的一半。如下图，圆外角∠3的度数为∠2－∠1，∠2的度数是的一半，∠1的度数是的一半。5.四边形的外角，四边形的对角四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。四边形中不相邻的两个角互称为对角。所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。6.圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。例1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝_________。解： ∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55°又∠BAD＋∠BCD＝180°∴∠BCD＝180°－55°＝125°例2.已知：如图，∠APC＝∠BPC＝60°，则∠BAC＝__________。解： ∠APC＝∠BPC＝60°∴∠APB＝120°，BC＝AC 四边形APBC内接于⊙O∴∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形∴∠BCA＝60°，故填60°点拨：本题较综合，考察：①相等的圆周角所对弦相等，②圆内接四边形对角互补，③一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。例3.半径为4的圆上一段弧长等于半径为2的圆的周长，则这段弧所对圆心角是___________。解：半径为2的圆的周长是，半径为4的圆的周长为∴这段弧长正好是周长的一半∴这段弧所对圆心角180°故填180°点拨：本题有难度，要理解圆心角的度数等于它所对弧度数。例4.已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，那么∠BOC＝___________，∠BIC＝__________。解：如图 ∠A＝80°由一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得：∠BOC＝2∠A＝160°故第一个空应填160°。又 在△ABC中，∠A＝80°∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°又 ∴在△IBC中，∠BIC＝180°－50°＝130°故第二个空填130°。点拨：本章重点应用了三角形内切圆的有关定理，构造三角形解题，是一道较好的题。例5.已知：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，交BC于E，则的度数为___________。解：连结CD，在Rt△ABC中，∠B＝25°，∠A＝65° CA＝CD∴∠CDA＝∠A＝65°∴∠ACD＝180°－2×65°＝50°∴∠DCE＝90°－50°＝40°∴的度数为40°，故应填40°点拨：本题应用的知识点比较多，要头脑清醒，综合各知识点，灵活运用。例6.已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2。求证：AB＝AC点悟：要证AB＝AC，由题知，不能直接证出，故需添加辅助线，而由圆周角∠1＝∠2，想到了作∠1、∠2的对弧，构造弦等、弧等的条件。证明：分别延长AD、AE，它们分别交⊙O于F、G，连结BF、CG ∠1＝∠2∴∴BF＝CG，∴∠FBC＝∠GCE∴△BFD≌△CGE∴∠F＝∠G，∴AB＝AC点拨：在圆中有相等的圆周角时常作它们所对的弧和弦，利用在圆周或等圆中相等的圆周角所对的弧相等以及圆心角、弦、弦心距之间关系定理证题。例7.如图所示，锐角△ABC内接于圆O，∠BAC＝60°，H是△ABC的垂心，BD是⊙O的直径。求证：证明：连结AD、CD、CH BD是⊙O的直径∴∠BAD＝∠BCD＝90°又 ∠BAC＝60°∴∠CAD＝30°∴∠DBC＝∠CAD＝30°在Rt△BCD中，得： H是△ABC的垂心∴AH⊥BC，CH⊥AB又 DC⊥BC，DA⊥AB∴AH∥DC，AD∥HC∴四边形AHCD是平行四边形∴AH＝CD点拨：要学会使用学过的知识解决有关圆的问题，本题很典型。例8.如图所示，在⊙O的内接...
