人教A版高中数学必修五专题：运用基本不等式解题常见问题对策探求VIP免费

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）运用基本不等式解题常见问题对策探求利用基本不等式求最值是高中数学中常用方法之一，在使用时应注意基本不等式的条件“一正、二定、三相等”.在解题的过程中，往往不能直接套用公式，即出现“变量是负数”、“和（或积）不是定值”、“等号取不到”等情形，这时该怎么办？下面针对部分情况提出对策.一、和（或积）不是定值对策：变量为正数时“若和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值”.当和（或积）不是常数时，可以用凑项法、配系数法、拆项法、平方法、纳入根号内法、取倒数法等.对策一、拆项分拆已知项在注意等号成立的条件下，把和（积）变成定值例1、求函数)0(322xxxy的最小值。解析：xxxy232322时取等号）xxxxx232(36232323232332，所以仅当3min3362326y，。评析：目标求和的最值，凑定积是关键，因此均分x3为相同的两项，同时使得含变量的因子x的次数和为零。思路不教练，功底不扎实是无法完成变形目标的。练习1：已知10xa（a为已知常数），求函数22(1)yaxax的最大值对策二：使用均值不等式时，若能从等号成立的条件入手巧妙地配项则可把问题转化例2：已知1a、2a、、na为整数，且121naaa，求证：222121223112nnaaaaaaaaa练习：已知,,abcR满足1abc，求证：22213abc对策三、添、凑项在凑“和”或“积”为定值时，还要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项，常见的凑项方法有：（1）、系数变形在利用均值不等式时，有时系数并不满足均值不等式的要求，需要对系数加以变形处理，使之满足要求，利用均值不等式求解。例3、已知0a，0b，且3222ba，求212ba的最大值。分析：已知3222ba的系数与所要求的212ba的系数不相吻合。要对212ba的系数加以变形，使之满足3222ba中的系数要求。解析：2)1()2(21221222222bababa22212222ba，当且仅当212ba时，即1a，1b时等号成立，所以当1a，1b时，212ba的最大值为22。（2）、项数变形在利用均值不等式时，有时往往需要对项数加以变形处理，使之满足均值不等式的要求，为利用均值不等式求解创造条件。例4、求函数222163xxy的最小值。解析：]216)2(3[638)216)(2(326216)2(3222222取等号xxxxxxy所以当638,2334minyx评析：目标求和的最值，尽可能凑定积，因此添6，减6（即使得含变量的因子22x的次数和为零，同时取到等号）是解决本题的关键之所在。练习：已知45x，求函数54124)(xxxf的最大值。分析：题目中的54x为负数，又541)24(xx不是定值，所以要对常数加以增减、拆、凑等处理。解析： 45x，∴045x，∴3)45145(54124)(xxxxxf1323451)45(2xx，当且仅当xx45145时，即1x时等号成立，所以当1x时，函数54124)(xxxf的最大值为1。。例5、已知cba，求)(12bacabbca的最小值。分析：题目中)(12bacabbca的各项有正数也有负数，直接利用均值不等式无法下手，通过项数的变化整理，使之符合要求。解析：由cba，得0ba，0cb，则))((1)()()(12cbbacbbabacabbca3))((1)()(33cbbacbba，当且仅当))((1cbbacbba时等号成立，所以当))((1cbbacbba时，)(12bacabbca的最大值为3。（3）、指数变形在利用均值不等式时，有时未知数的指数并不满足均值不等式的要求，需要对指数加以变形处理，使之满足要求，利用均值不等式求解。例6、已知实数yx,满足0xy，且22yx，求xyx2的最小值。分析：由均值不等式直接求解xyx2，得出的结果与已知不满足，需要变形指数，通过协调好实数yx,的指数关系，使之满足条件。解析：3222212132121xyxyxxyxyxxyx3)(413413322324yxyx，当且仅当xyx212时，即1x，2y时等号成立，所以当1x，2y时，xyx2的最小值为3。对策四、放入根号或两边平方例7、求函数)10(122xxxy的最大值。解析：932)3122(4)1(224)1(132222222422xxxxxxxxxxy（仅当2212xx时取等号），即当932,36maxyx。另解：278]3)22([)22(21)1()1(3222222222242xxxxxxxxxxxy（仅当2222xx时取等号），即当932,36maxyx。评析：目标求积的最值，把变量都放在同一条件下的根号里或者将原式两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键之所在。对策五、分子常数化例8、设求函数4332xxy的最大值。解：由题意知223242234343xxxxxxxy而,Rx取...