平面向量的分解VIP专享VIP免费

2.3平面向量的基本定理2.3.1平面向量的基本定理问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以．问题2：如图，以a为平行四边形的一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？提示：不确定．新课讲解问题3：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以，根据是数乘向量和平行四边形法则．问题4：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．一、平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a，实数λ、u，使a＝.(2)基底：的向量e1，e2叫做表示这一平面内向量的一组基底.不共线任意有且只有一对不共线所有λe1＋ue21.如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，判断下列说法是否正确．①λe1＋μe2(λ、μR)∈可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.分析思考解：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；②不正确，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；③不正确，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．2．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解析： 6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)(3∥e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基底．答案：B问题1：两条直线存在夹角，那么两个向量也有夹角吗？提示：有．问题2：两条直线在什么情况下互相垂直？提示：所成的角为90°时．二、平面向量的夹角两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个a和b，作OA�＝a，OB�＝b，则＝θ叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是.②当θ＝0°时，a与b．③当θ＝180°时，a与b．(2)垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作.非零向量∠AOB0°≤θ≤180°同向反向90°a⊥b1．关于平面向量的基底，下面三种说法正确吗？①一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③基底中的向量一定不是零向量．提示：平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底，故①不正确，②③正确．2．在△ABC中，向量AB�与BC�的夹角是∠B对吗？提示：不对，是π－B.分析思考1．平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．2．平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．3．基底必须具备两个特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择不是唯一的．概念理解[例1]已知|a|＝|b|＝2，且a与b夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________，a－b与b的夹角是________．例题讲解解：如图所示，作OA�＝a，OB�＝b，且∠AOB＝60°.以OA，OB为邻边作▱OACB，则OC�＝OA�＋OB�＝a＋b，BA�＝OA�－OB�＝a－b. |a|＝|b|＝2，∴△OAB是等边三角形．∴四边形OACB是菱形．∴OC�与OA�的夹角为30°，BA�与OB�的夹角为120°，即a＋b与a的夹角为30°，a－b与b的夹角为120°.[答案]30°120°1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，则AC�与CB�的夹角θ＝________.解析：如图所示，延长AC到D，使AC＝CD，则AC�＝CD�，∠BCD是AC�与CB�的夹角．由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，则∠BCD＝180°－60°＝120°，即θ＝120°.答案：120°跟踪练习2．已知向量a与b的夹角等于60°，求下列夹角．(1)2a...